关于闭区间上非常数连续函数的最值

摘要：闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的图形特征是一条连贯不断、不间断的线段，从而闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）一定有最大值和最小值，通过导数的应用可以很方便地把闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最值求出来。

关键词：闭区间；非常数连续函数；图形特征；最大值；最小值

一切初等函数在其定义区间内都是连续函数，连续函数的图形特征表现为在定义区间内是连贯不断、不间断的。那么对于闭区间[a，b]（其中a

一、 闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的图形特征

闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的图形是一条连贯不断、不间断的线段，它的两个端点分别是（a，f（a））、（b，f（b））。由以上图形特征可知，闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的图形至少有一个最高点和有一个最低点。

【例1】函数y=x2，x∈[-2，2]的图形如下所示：

观察图形可知，函数y=x2，x∈[-2，2]的图形的最高点有两个，分别是（-2，4）、（2，4）；最低点是坐标原点（0，0）。

【例2】函数y=x2，x∈[1，2]的图形如下所示：

观察图形可知，y=x2，x∈[1，2]的图形的最高点为（2，4）；最低点是（1，1）。

【例3】函数f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的图形如下所示：

观察图形可知，函数f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的图形的最高点有两个，分别是（-2，2）、（1，2）；最低点也有两个，分别是（-1，-2）、（2，-2）。

事实上，以上图形的最高点的纵坐标就是闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最大值；而以上图形的最低点的纵坐标就是闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最小值。

二、 闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的性质

由以上闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的图形特征可知，闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）一定有最大值和最小值，这就是闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的性质。

那么，如何通过计算求出闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最值呢？

再一次观察以上三个例题中的图形，可以得出闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最值要么是在闭区间[a，b]的端点处取得的；要么是在闭区间[a，b]的内部取得的，此时的最值事实上也是函数的极值。

函数的極值要么在函数的驻点处（即导数等于0的x值）取得；要么在函数的尖点处（即导数不存在的x值）取得。

综合以上分析，可得通过计算求出闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最值的步骤如下所述：

（1）求出函数的导数，并将函数的驻点和尖点求出来，其中不属于闭区间的驻点和尖点要舍去；

（2）计算闭区间[a，b]的两个端点处、驻点和尖点处的函数值；

（3）比较以上函数值，其中最大者就是所求的最大值；最小者就是所求的最小值。

【例4】求出函数f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的最大值和最小值。

解：（1）f′（x）=（3x-x3）′=（3x）′-（x3）′=3-3x2=3（1+x）（1-x），

令f′（x）=0，即3（1+x）（1-x）=0，解得x1=-1，x2=1；

（2）计算函数值：f（-2）=2、f（-1）=-2、f（1）=2、f（2）=-2；

（3）比较以上函数值，得函数f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的最大值为f（-2）=f（1）=2，最小值为f（-1）=f（2）=-2。

以上结论与例3中观察函数的图形所得最值的结论是一致的。

【例5】求出函数y=x2，x∈[1，2]的最大值和最小值。

解：（1）y′=（x2）′=2x，

当1

（2）所以函数y=x2，x∈[1，2]的最大值为f（2）=4，最小值为f（1）=1。

以上结论与例2中观察函数的图形所得最值得结论是一致的。例5表明函数在闭区间上单调递增时，最大值在区间的右端点处取得，而最小值在区间的左端点处取得；若函数在闭区间上单调递减时，则最大值在区间的左端点处取得，而最小值在区间的右端点处取得。

【例6】求出函数f（x）=1+3x2，x∈[-1，22]的最大值和最小值。

解：（1）f′（x）=（1+3x2）′=1′+（x23）′=23x-13=233x，

当x=0时，函数不可导，x=0是函数的尖点；

（2）计算函数值：f（-1）=2、f（0）=1、f（22）=3；

（3）比较以上函数值，得函数f（x）=1+3x2，x∈[-1，22]的最大值为f（22）=3，最小值为f（0）=1。

可见，闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最值一定是存在的，并且通过导数的应用可以很方便地把闭区间[a，b]上的非常数连续函数y=f（x）的最值求出来。

作者简介：

王越洋，湖北省襄阳市，湖北襄阳四中。