机器人与激光跟踪仪的坐标系转换方法研究

刘湛基，王 晗，陈 桪，夏远祥，杜泽峰，李沅时，林家平

（广东工业大学，广东 广州 510006）

机器人与激光跟踪仪的坐标系转换方法研究

刘湛基，王 晗，陈 桪，夏远祥，杜泽峰，李沅时，林家平

（广东工业大学，广东 广州 510006）

激光跟踪仪对工业机器人的末端位姿进行绝对定位精度标定时，需要把测量坐标系和机器人坐标系下的坐标值转换到同一坐标系下，坐标值的比较才有意义。因为机器人运动学模型误差的存在，使得机器人坐标系下的点不能遵循着唯一确定的变换关系变换到测量坐标系，所以坐标系的变换精度不高。在建立齐次变换形式的变换模型之后，通过分析坐标系变换过程中的误差来源，提出结合最小二乘法的RANSAC快速转换算法。从测量样点中随机选择一定量的样点拟合变换模型，在获得多个变换模型之后，利用评判模型选择最优模型。结果表明：相比于常规的求解方法，机器人和激光跟踪仪的坐标转换精度提高3倍。RANSAC算法能有效地降低机器人模型误差对求解变换关系的影响，并且实验过程快速、操作简单。

机器人；坐标变换；RANSAC算法；激光跟踪仪

0 引 言

工业机器人的连杆几何参数误差和随机误差影响其绝对定位精度[1-5]。通过借助具有高测量精度的激光跟踪仪实现对机器人绝对定位精度的测量[6]。在实际应用中，往往最后的数据处理部分，需要把机器人控制器反馈获得的数据和激光跟踪仪获得的数据进行对比、运算等操作。而进行以上操作的关键步骤是两者的数据需要在同一个坐标系下，所以，获取机器人坐标系和激光跟踪仪坐标系的变换关系至关重要。获得两者坐标系变换关系主流方法大概有3种[7-9]，第1种是通过标定板，分别求取标定板和机器人的关系、标定板与激光跟踪仪的关系，从而求得机器人与激光跟踪仪的关系；第2种是使用点云测量方法利用大量的实验数据拟合出所有的变换模型参数；第3种是通过分别控制机器人做3次单轴运动，分别求得变换的模型的旋转量和移动量。第1种方法，求得的变换关系相对于后两种方法较准确，因为其方法避开了测量对象的运动模型误差的影响，但同时对标定板的要求较高而且操作较为不便，对实验过程的操作要求较高。后两种方法操作简单快捷，测量数据的准确性受限于机器人本身的误差，这样数据样本会对求取的变换模型带入较大的误差[10-12]。

针对上述问题，本文提出一种基于RANSAC算法的机器人坐标系与激光跟踪仪坐标系的快速准确的转换方法。该法只需要控制机器人在工作空间中测量适量的采样点，即可快速准确地计算出机器人与激光跟踪仪的变换关系，具有操作简单快捷、适用范围广等优点。

1 坐标系变换模型建立方法

1.1 变换模型构建原理

假设任意一空间点p在机器人基坐标系下的描述为Pr，在激光跟踪仪坐标系下的描述为Pt，在忽略姿态的情况下，由空间几何变换可得如下的变换关系：

式中：R——旋转矩阵；

T——平移矩阵。

把式（1）中的旋转矩阵和平移矩阵合并表示成齐次矩阵的形式：

展开有：

观察上述3个方程，每个方程有4个未知数。单独4个未知数，至少需要4组数据。综合所得，求解此拥有12个未知数的模型至少需要4组实验点的数据。

1.2 模型参数求解方式建立

在实际的测量过程中，为了提高求解的精度和扩大模型的适用范围，利用大量的数据去拟合模型，这就使得式（3）成为了超定方程组。当所得的数据比较准确时，可拟合出逼近客观存在的变换模型，拟合的原则是要求拟合模型都适用于这些数据点。但往往测量数据含有不可避免的误差，当无法同时满足某一确定的模型，则按误差最小的原则，使得逼近模型最优地靠近样点，逼近模型最可信赖的结果应在测量误差残差的平方和最小的条件下得到。

把式（4）改写并简写成AX=B：

其中，i=1，2，3，…，n；n=4，5，6，…。

当测量数据量n=4时，式（5）为适定方程组，能拟合出一个变换模型。当n＞4时，式（5）成为超定方程组。为使拟合出来的变换模型最优地靠近测量点，变换模型的残差尽可能的小，利用最小二乘法对式（5）进行求解。由最小二乘法求解原理可知：

在矩阵运算的过程中，列向量[nxoxaxTx]T、[nyoy ayTy]T和[nzozazTz]T的解相互独立，在不考虑过拟合的情况下，选取的测试点数量不同，或同一数量但不同组合的测试点都会求出不同的解。事实上，由于旋转矩阵R为正交矩阵，即：

使得上述3个向量的解存在相互约束的关系，因此可以根据式（7）筛选出最符合式（6）的解，从而提高解的精度。

1.3 模型理论误差分析

工业机器人的运动精度主要由其控制器中的运动模型的准确性决定。但由于客观原因，机器人控制器中的模型不可能和实际的模型完全相同。其中机器人各连杆的几何参数误差是造成机器人定位误差的主要因素，主要是由于制造和安装过程中产生的连杆实际几何参数与理论值之间的偏差造成了系统误差。除此之外，其他的因素还包括环境、负载等随机误差。基于上述原因，机器人规划点并不是遵循着唯一的规律通过机器人运动映射到实际工作空间中，所以激光跟踪仪所测到的点也不是遵循着唯一的变换。其变换关系如图1所示。

图1 变换关系

运用最小二乘法求出的解Ft，实际是在映射集合{ft1，ft2，…}上拟合出误差最小的映射。所以，每一个映射fti都会对最终的求解造成相同的影响。映射关系fti由一定数量的测试点集合解得。正如上文所述，由于机器人运动存在误差，某些测量点会存在较大的误差。若不把这些误差较大的测量点从采样数据中剔除，势必会求解得出一个只适用于求解点集的映射关系，对于全局的数据变换会得出很大的误差。基于这一问题，本文提出了结合RANSAC的求解方法。

2 模型参数求解优化

Fischler和Bolles于1981年提出了随机抽样一致性（random sample consensus，RANSAC）[13-14]算法，该算法是从一组包含异常值的观测数据集中估计其数学模型参数的迭代方法。RANSAC是一种不确定的算法，因此从某种意义上说，它只有一定的概率得到一个合理的结果。为了增加这种可能性，应适当增加迭代次数。RANSAC的思想是利用迭代的方式随机选出一组数据拟合出模型，为了使该模型能够最优地解释或者适用于这些数据，利用此模型去测试测量数据，筛选出符合模型的最佳点集（局内点），同时去除错误点以及误差较大点（局外点），得到正确的测量结果，从而大大提高了测量的可靠性和测量准确度。其算法流程如图2所示。

图2 RANSAC算法流程图

利用最小二乘法求解机器人坐标系和激光跟踪仪坐标系的变换关系最少需要4个点，因此随机从数据样点中取N个点pn作为模型点集合M，其中N≥4，然后对变换模型进行参数求解。求出变换关系f后，需要判断模型是否正确。分别从机器人坐标系点集B、激光跟踪仪坐标系点集T剔除前面已经选出的N个相应的点，得到集合Bc={p|p∈CBM}、Tc={p|p∈CTM}。根据变换关系有Bc→fA。假设内点的判断模型为

其中pA∈A，pTc∈Tc，i=1，2，…。

若Δ小于设定的阈值limit，则认为此点为内点,归于点集I。统计内点集的点数total，若大于设计的阈值total，则认为此次求得的变换模型为合适的。根据迭代的求解过程可知，有可能会计算出多个合适的模型，为了评价最优模型，增加最优化评价函数：

若有多个合适变换模型，以方差为标准，评价出最优的变换模型。通过上述的求解过程，可以剔除误差较大的采样点并最终得出最优的变换模型，保证了模型的稳健性、准确性。

3 实验方案与实验结果分析

3.1 实验方案建立

实验现场如图3所示，右侧为激光跟踪仪，左侧为工业机器人和控制器，均固定放置。

通过设计加工好的连接板把激光跟踪仪的靶球固定到机器人末端法兰盘上，如图4所示。链接板的加工精度在0.02mm。在连接板结构尺寸已知的情况下，可以直接写出工具坐标系，并将其添加到机器人控制器中。为了提高测量精度，工具坐标系应该通过测量标定。本次实验只基于保证连接板的加工精度和安装精度情况下，直接求取工具坐标系。

图3 实验现场

在机器人的工作空间中，选取一个中心点（800，200，700），选择边长为200mm的立方体测量空间。在测量空间中，随机测量100个点。实验测量的数据如图5所示。

3.2 实验结果分析

图4 激光跟踪仪靶球

图5 机器人的目标点和激光跟踪仪的测量点

由RANSAC算法可知，指定拟合模型的数据量，多次选择不同的数据组合，求出最优解。为了探讨多少个点所组成的数据集能解出最优解，在（4，40）的范围里，以2为步长，选择不同的数据量进行RANSAC算法实验。其结果如图6所示。

图6 不同精度下，不同拟合数据组合的内点

从图中可以看出，随着参与拟合模型的数据集增大，解越准确，内点越多。同时，随着精度要求的提高，内点数减少。在精度0.18，0.19，0.20mm要求下，数据量在（30，36）区间里的组合都可以满足内点数量占85%的条件。在同样的数据量（30，36）区间内，由于0.23 mm精度要求较低，所以包含的内点更多。在不断提高精度的同时，解的组合种类也在缩小，经过多次迭代发现，精度要求0.18mm是最高精度的解。在精度要求0.18mm的条件下，解出了两组解如表1所示。

表1 0.18mm精度下的解

根据式（9）的最优解条件，第一组解为最优解。

图7 不同解法的误差比较

图8 同一变换关系在不同空间中的变换误差比较

选择50个点组成集合，并比较由基于RANSAC算法和常规最小二乘法求解得到的变换误差，如图7所示。实验结果表明，基于RANSAC算法的求解比常规算法求解，变换关系的精度可以提高3倍。

基于1.3节的误差分析可以知道，数据采集的空间的大小也影响着求解的精度，在机器人标定文献中也表明了这种特性[15]。在同一精度下，不同的数据采集空间获得的结果也是不一样的，特定空间中的求解结果适应于该空间中。同样以（800，200，700）为中心点，分别以200，400mm为边长，构建立方体测量空间。在小空间（200 mm边长的立方体）中经过RANSAC算法求解得到变换关系，分别从大空间、小空间中选择50个测试点，测试变换关系的准确性。误差分析如图8所示。由图可知，在小空间中，变换关系满足精度要求，但是对于大空间并不满足。

4 结束语

本文在分析机器人坐标系与激光跟踪仪坐标系变换的主要误差来源的基础上，探究快速准确地求解变换模型方法。本文提出了基于RANSAC算法的最小二乘法变换求解，该算法去除外点的特性，解决了由机器人本体模型误差带来的测量误差而造成的模型拟合失败的问题。实验表明，结合RANSAC算法的最小二乘法比常规的解法提高了3倍的求解精度。此外，该方法避免了通过多次单轴运动再拟合求解的复杂过程，也减少了对高精度标定板的依赖。本方法同时适用于求解不同设备间的坐标系变换，为生产、科研的过程中，坐标系转换需求提供了一种方便快捷、低成本、稳定准确的方法。

[1]ALBERT N， MOHAMED S， AHMED J， et al.Comparison of two calibration methods for a small industrial robot based on an optical CMM and a laser tracker[J].Robotica，2014，32（3）：447-466.

[2]MA N， SU C， ZHANG X.Research on fast field calibration method of industrial robot[C]∥Chinese Automation Congress，2015.

[3]SU C， ZHONG L， SU C， et al.Modelling and control for simultaneous laser beam alignment of a dual-PSD industrial robot calibration system[C]∥International Conference on Cyber Technology in Automation Control and Intelligent Systems.IEEE，2015.

[4]陈钢，贾庆轩，李彤，等.基于误差模型的机器人运动学参数标定方法与实验[J].机器人，2012，34（6）：680-688.

[5]王智源，朱刚.测定工业机器人位置特性的误差不确定度分析[J].电子测量技术，2016，39（9）：8-11.

[6]BORRMANN C，WOLLNACK J.Calibration of external linear robot axes using spline interpolation[C]∥Proceedings of the International Conference on Modelling Identificationamp;Control.IEEE，2014.

[7]刘常杰，段宇，王一，等.机器人柔性坐标测量系统现场校准技术研究[J].机械工程学报，2010，46（18）：1-6.

[8]SHIU Y C，AHMAD S.Calibration of wrist-mounted robotic sensors by solving homogeneous transform equations ofthe form AX=XB[J].IEEE Transactions on Roboticsamp;Automation，1989，5（1）：16-29.

[9]任永杰，邾继贵，杨学友，等.利用激光跟踪仪对机器人进行标定的方法[J].机械工程学报，2007，43（9）：195-200.

[10]洪鹏，田威，梅东棋，等.空间网格化的机器人变参数精度补偿技术[J].机器人，2015（3）：327-335.

[11]吴德烽，李爱国.三维表面扫描机器人误差建模与补偿方法[J].机械工程学报，2012，48（13）：61-67.

[12]TABB A，YOUSEF K M A.Parameterizations for reducing camera reprojection error for robot-world handeye calibration[C]∥Ieee/rsj International Conference on Intelligent Robots and Systems，2015.

[13]CHUM O， MATAS J， KITTLER J.Locally optimized RANSAC[J].Joint Pattern Recognition Symposium，2003（2781）：236-243.

[14]FISCHLER M A，BOLLES R C.Random sample consensus：a paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography[J].Communications of the Acm，1981，24（6）：381-395.

[15]周炜，廖文和，田威.基于空间插值的工业机器人精度补偿方法理论与试验[J].机械工程学报，2013，49（3）：42-48.

（编辑：商丹丹）

Study on the method of coordinate transformation between robot and laser tracker

LIU Zhanji， WANG Han， CHEN Xun， XIA Yuanxiang， DU Zefeng， LI Yuanshi， LIN Jiaping
（Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006，China）

When the laser tracker calibrates the absolute positioning accuracy of the end position of the industrial robot，it is necessary to transform the coordinate values of the measurement coordinate system and the robotcoordinate system to a same coordinate system， thusthe comparison of the coordinate values makes sense.Because the existence of the robot kinematics model error makes the point in the robot coordinate system cannot follow the only definite transformation relation to the measurement coordinate system，the coordinate system transformation precision is not high.After the transformation model of homogeneous transformation is established，the RANSAC fast conversion algorithm combined with least squares method is proposed by analyzing the error sources in the transformation process of the coordinate system.A certain number of samples are randomly selected to fit the transformation model from the measurement sample.After obtaining multiple transformation models，the optimal model is selected by the evaluation model.The results show that the coordinate transformation accuracy of the robot and the laser tracker is increased by three times compared with the conventional solution method.The RANSAC algorithm can effectively reduce the influence ofthe robotmodelerroron the transformation relation a，the experiment process is fast and the operation is simple.

robot； coordinate transformation； RANSAC algorithm； laser tracker

A

1674-5124（2017）11-0102-06

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.11.020

2017-02-10；

2017-04-19

广东省前沿与关键技术创新专项资金（2015B010124001）；广东省高等学校优秀青年教师培养计划（YQ2015056）；“广东特支计划”科技青年拔尖人才项目（2014TQ01X212）；东莞市产学研项目（2013509109101）

刘湛基（1991-），男，广东佛山市人，硕士研究生，专业方向为工业机器人的应用开发。