浅谈数学竞赛中平面几何解题的小技巧

摘 要：当前，全国高中各学科联合竞赛已成為普遍现象，它不仅能发挥的学生们的特长，也是各类高校自主招生的一个参考依据。对于那些学有余力的理科学生来说，积极参与数、理、化、生的全国联合竞赛更是他们展现能力的一个舞台。笔者作为数学竞赛的参与者，从平面几何学习和竞赛中总结一些个人心得，以期对后来的参与者得到一些帮助，并希望与大家共同学习和交流。

关键词：全国高中；数学；联合竞赛；平面几何

在平面几何中，有着一个非常重要的定理，梅涅劳斯定理，即 （一种基本形式）。这个定理在平面几何中用处之广不

必多说，许多同学把其当作一个非常基础的定理，因为通过它可以推导出帕斯卡定理等。但是梅氏定理真的是那么基本吗？我看并不是这样，梅氏定理也可以通过共边定理来证明。证明如下：

，即

即

这样说明了一个什么问题呢？即用梅涅劳斯定理证明的题目均可以使用共边定理来进行证明，有时只是解答复杂的问题，但是一定可以做出，而共边定理的本质即是三角形的面积比例，这应该算是一个非常基本的定理，下面我举一例子加以说明。

例一：（如图二）

P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为⊙O上一点，过C作⊙O切线，分别交PA、PB于E、F，OC交AB于L，LP交EF于D，证明D为EF的中点。（1991年四川队题）

证明：

=

∴DE=DF #

由此可以发现这道题可以用共边定理一口气解决。但是对于竞赛，许多同学感到困惑，这个是怎么想到的呢？难道是天分吗？不对，这其中是有小技巧的。

从题目中，我们可以得到：A、B是圆上的两任意点，这两个点是没有任何限制的，因此可以理解为初始点，记做“0”，而P点是过B、C两切线的交点，只要BC位置确定，P点即确定，其中P与AB的关系为∠PBO=∠PAO=90°，即PB=PA，∴P由初始点确定，P也记做“0”级。C为任意点，∴C记做“0”级，L由CO，AB确定，∵C、O、A、B均为初始点，∴L为“1”级，E、F由PB与PA和C点确定，∴E、F为“1”级，而D点由PL、EF确定，∴将D点记做“2”级，题目即证：DE=DF，不难发现，D为本题中最复杂的点，而题目正是要证明这东西的相关性质，利用共边定理，从D点出发一步一步还原，消去点D，当还原到基本点时，结果必定可以约掉，若约不掉，则题目有问题，下面举一例子加以说明。

例二：在△ABC中，D为BC上任一点，O为△ABC内任一点，BO交AC于N，CO交AB于M，DO交BA于E，AD交BN于F，MG交EN于G，证明G在BC上。

证明：“0”级的点：A、B、C、D、O

“1”级的点：M、N、E

“2”级的点：F

“3”级的点：G

∴从G开始消去，题目可以这样理解，MF交BC于G，EN交BC于G'，只需证明即证毕。（这样就将共线问题转化成线段的比例问

题，就可以考虑使用共边定理）

①

②

联立①②即证明：

即即

（先消去C，再消去E、F，由于M、N在AB，AC上，非常容易表达，故最后消去M、N）。由于共边定理是利用的面积比，而在三角形的面积公式中一个为，这样便与一个三角形的角度结合起

来。因为共边定理仅是边之间的转化，不易解决角之间的问题，利用此公式便可与角度产生联系，同时在三角函数中正弦定理可以实现边角转化，下面举一三角函数相结合的例子。

例三：如图四，三角形ABC中，BF⊥AC，CE⊥AB，D哦BC的中点，DE交AC于M，DF交BE于N，O为ΔABC的圆心，H为垂心，延长OH，做AI⊥OH于I，证明M、I、A、N四点共圆。

证明：M、I、A、N四点共圆

∵

∴E、I、A、F、H五点共圆

∴

∴ 证

证

∴考虑证明

即证明

一方面：

对ΔBHO与ΔCHO考虑使用正弦定理

则 ①

另一方面：的比例转化，考虑ΔMDF与ΔNED

②

结合①②，只需证

③

而

同理，原③式得证#

本题证明四点共圆不必多说。转化到边比例之后可以考虑共边定理，但是涉及到许多的角度，故用共边定理转化具有一定的难度，所以可以考虑用三角的相关知识去解题，在这之中，同样可以考虑消点的思想，尽量将复杂的边转化到基础的边上，如，当观

察到时，问题便基本解决了，若观察不出，则也可以按例二的方式逐步消定。

参考文献

[1]张景中 《新概念几何》 中国儿童新闻出版总社2004.5

[2]马洪炎 《平面几何》 浙江大学出版社2007.6

[3]范端喜 邓博文 《奥林匹克小丛书之平面几何》 华东师范大学出版社 2013.1

作者简介

李昊然（2000-），男，重庆人，西南大学附属中学高中2018级10班应届学生，获得2017年9月全国数学联赛二等奖获得者。endprint