关于几何证明题解题思路的几点看法

徐银娣

摘 要：几何证明题跟代数计算类题目不同，代数计算类题出的题型比较固定，考查的知识点也相对明确，所以容易总结出解题方法解题；而几何证明题相当灵活，不局限于固定的公式，它对学生的逻辑思维能力要求比较高，需要通过严谨的因果关系和逻辑条件一步步衔接证明，最终得出所要证明的结论。

关键词：几何证明；方法技巧；思路；原理公式

几何证明作为数学几何学习内容其中一项重点难点，常常成为学生解题的绊脚石，面对点、线组成的图形和各种前提条件，如何入手？怎样证明？往往让学生无从下手，其实，几何证明题并不难。著名的匈牙利数学家George Polya曾说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确，哪一个方向可接近它，就要试探各种方向和思路。”这位伟大的数学家给了我们很大启示，解决几何证明题需要循序渐进，善于在探索证题过程中善于运用不同的解题思路，最终找到解题方法与技巧。接下来就如何运用不同思路解决几何证明题提一些看法：

首先，我们需要积累不同的解题方法与技巧去解决不同类型的题目，一般来说，推荐以下三种常用思维来打开解题思路：

一、正向思维

顾名思义，面对一些直接可以通过套用公式定理或给出的已知条件就能轻而易举地证出的题目，可以直接运用正向思维去推理证明。例如：

如图1，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证△ACE≌△ADE。

由已知条件中可知，根据“SAS”可轻松证明△ACB≌△ADB，△ACE≌△ADE。

二、逆向思维

这种思维比较独特，需要从相反方向寻求解决思路。可以先假设证明结论成立，往回推理结论成立后将会有什么条件成立，再通过论证条件成立的可能性，倒推证明结论的正确。运用逆向思维的好处是能通过让学生从不同的角度、不同的方向思索问题，寻找解题方法，最终拓宽学生的解题思路。这种逆向思维在初中数学是一种不可或缺的思维方法，尤其在证明题中体现得更加重要。比如：

已知，如图2，∠BEO=∠BDC，BE=CD.求證：∠1=∠2。

想证明∠1=∠2，可考虑证明△AOE≌△AOD或△AOB≌△AOC，由条件不难发现前者有∠ADO=∠AEO，AO=AO，后者有∠C=∠B，AO=AO，二者具备的条件一样，很难判断出哪一个更好，因此，必须进一步分析条件，不难发现△BOE≌△COD，从而得出OB=OC，OE=OD，但这两个条件加进去之后，又不难发现两组待证的全等三角形所满足的条件都是“SSA”，而它不能判定两个三角形全等，因此还须进一步掌握条件，BD=CE，不难发现△ABD≌△ACE，这样便有AD=AE，AB=AC。于是两组待证的全等三角形均可由“SSS”证明。通过以上证题思路可以看出，面对这种类型的题目，我们可以先假设求证成立，从题目的问题向条件一步步往回推理，然后求证目的条件成立与否，最后从这一过程中推导出证明结论成立，即运用逆向思维推理达到求证的目的。

三、正逆结合

如何面对难以从结论分析出思路的题目，我们可以结合结论和已知条件认真分析，一般几何证明题中，所给的每一个已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路。比如：

已知，如图3，在△ABC中，AD是角的平分线，EF垂直平分AD交AD与E，交BC的延长线与F，求证：∠B=∠CAF。

∠B和∠CAF不在同一个三角形内，而且这两个角所在的两个三角形也不全等，因此要考虑与这两个角有关的角。由EF是AD的垂直平分线，可知FD=FA，∴∠FDA=∠FAD。而∠FAD=∠FAC+∠DAC，∠ADF是△ABD的外角，则∠ADF=∠B+∠BAD。又由AD是角的角平分线，则可知∠BAD=∠DAC，因此，问题得证。从这个例子可知，在证题过程中，当要证的两个角关系不明显时，把它们转化为有联系的角，这是逆向思维，然后观察这两个有联系的角，再从简单的正向思维就可以轻松地得以证明结论。

当然，学会了解题方法技巧只是迈出解决问题的第一步，熟练运用和记忆一些常见原理才是解决几何证明题的关键所在。熟记一些我们在解题过程中直接运用的原理公式：角平分线的定义、勾股定理等；对于比较特殊的图形如全等三角形三边相等、等腰三角形两腰相等、直角三角形两边垂直等图形也需要信手拈来。

参考文献：

1.谢鼓平.初中教案与作业设计.

2.薛金星.中学教材全解.

3.刘会金.思路·策略·方法.

（作者单位：广东省惠州市博罗横河中学）endprint