幂级数的和函数及其收敛性的探讨

蔡瑾

【摘要】本文通过讨论幂级数在求和过程中所得到的函数与幂级数的和函数之间的关系，给出求幂级数和函数的方法。

【关键词】幂级数 和函数 收敛半径 收敛区间 收敛域

【Abstract】We discuss the relation between power series and sum function in the paper and give a method to find the sum function.

【Key words】power series； sum function；radius of convergence；convergence domain

【中图分类号】O151.21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）43-0127-02

引言

幂级数求和函数及其收敛性的讨论，无疑在教学上及其应用上都是值得重视的，它是函数项级数中最简单、最便于讨论、应用上最广泛的一类级数。但往往把幂级数在求和过程中所得到的函数与幂级数的和函数混为一谈，且在收敛区间端点处的和还得应用数项级数求和。为此，本文讨论幂级数在求和过程中所得的函数与幂级数的和函数之间的关系，从而具体地给出求幂级数的和函数的方法。

1.定理及证明

定理1.1 如果幂级数■a■x■的收敛区间为（-R，R），且■a■R■收敛，则幂级数■a■x■在[0，R]上一致收敛。（证明略详

见[1]）

定理1.2 如果幂级数■a■x■在收敛区间（-R，R）内收敛于F（x），且■a■R■收敛，则■a■R■=■F（x）

证明：由于■a■x■的收敛区间为（-R，R）且■a■R■收敛，则■a■x■在[0，R]上一致收敛。所以对任意的？着>0，存在N，当n>N时，对任意x∈[0，R]，都有■a■x■<ε，■a■R■<ε

令M=■a■·n·R■而■a■R■-■a■x■

=x-R·a■+a■（R+x）+a■（R■+Rx+x■）+…+aN（R■+xR■+…+x■

≤x-R·（■a■·n·R■）=M·x-R<ε

只要取δ=■，当-δ

■a■x■-■a■R■=■a■x■-■a■R■+■a■x■-■a■R■

≤■a■x■-■a■R■+■a■x■+■a■R■<ε+ε+ε=3ε

所以 ■■a■x■=■a■R■

而■a■x■在（-R，R）内收敛于F（x），即■a■R■=■F（x）。

例1 求F（x）=■■在收敛区间的和函数，并求■■的值。

解 幂级数F（x）=■■的收敛半径R=1。

对x·F（x）逐项求导两次，得

[x·F（x）]"=[■■]'=■x■=■

对■由0到x逐项积分两次，得

x·F（x）=■-ln（1-x）dx=（1-x）[ln（1-x）-1]

所以F（x）=■[ln（1-x）-1]，由于■■收敛，根据定理2，可知■■=■■[ln（1-x）-1]=1

定理1.3 如果幂级数■a■x■收敛区间为（-R，R），且■a■（-R）■收敛，则幂级数■a■x■在[-R，0]上一致收敛。

定理1.4 如果幂级数■a■x■在收敛区间（-R，R）内收敛于F（x），且■a■（-R）■收敛，则■a■（-R）■=■F（x）。

例2 求F（x）=■■在收敛区间的和函数，并求■■的值。

解 幂级数F（x）=■■的收敛半径R=1，在收敛区间内逐项微分两次，得F"（x）=■x2n-2=■

再将F"（x）由0到x逐项积分两次，得

F'（x）=■■dx=■[ln（1+x）-■ln（1-x）]

F（x）=■[■ln（1+x）-■ln（1-x）]dx=■xln■+■ln（1-x2）

由于■■收斂，所以

■■=■[■xln■+■ln（1-x2）]=ln2

定理1.5 如果幂级数■a■x■在收敛区间（-R，0）∪（0，R）上收敛于F（x），且F（x）在x=0点无定义，则■F（x）=a0

事实上，■a■x■的收敛半径是R，则它在（-R，R）上连续，便有：

■F（x）=■■a■x■=■a■x■|x=0=a0

例3 求幂级数■■在收敛区间内的和函数F（x），

并验证■F（x）=■■|x=0=■

解：设F（x）=■■，0

对x2F（x）=■■两边逐项微分，得

[x2F（x）]'=■xn+1=■

对上式两边积分，得

x2F（x）=■■dx=-x-ln（1-x）

所以F（x）=-■

而■■的收敛区间为（-1，1），且■■发散，■■收敛，所以

■■=■-■=1-ln2

■F（x）=■-■=■=■■|x=0

因此幂级数■■在收敛域[-1，1）上的和函数为

S（x）=1-ln2 x=-1-■ 0

2.求幂级数的和函数的方法

若幂级数的收敛半径为R，设F（x）为幂级数■a■x■在求和过程中得到的函数，其定义域为D'，S（x）为幂级数的和函数，其定义域为D，显然D'？哿D？哿[-R，R]。

定理2.1 若幂级数■a■x■在R处收敛，且F（x）在R处有定义，则F（x）在R处左连续。

定理2.2若幂级数 ■a■x■在-R处收敛，且F（x）在-R处有定义，则F（x）在-R右连续。

这两定理可由定理1.2，定理1.4证得。

由此可见，如果幂级数■a■x■在求和过程中所得到的函数在收敛域内的端点及零点有定义，则幂级数在求和过程中所得到的函数与幂级数的和函数相等，如果幂级数在收敛域内的端点或零点无定义，则幂级数的和函数是幂级数在求和过程中所得到的函数的连续延拓函数。

在求幂级数的和函数时，可按照以下几步进行：

1 先求出幂级数的收敛半径R，从而确定其收敛域D

2对幂级数求和，确定F（x），x∈D'

3求F（x）在D的连续延拓函数S（x），这里的S（x）为幂级数■a■x■在收敛域D上的和函数

3.结束语

本文给出了求幂级数的和函数的方法，意在直接利用求和过程中所得到的函数，对于收敛区间端点的和，不必再转化为数项级数，我们还可以进一步去研究，如何把数项级数的求和转化为幂级数求和函数的问题。

参考文献：

[1]纪乐刚.《数学分析》上海，华东师大出版社.1994.5。

[2]邢航、刘春杰.微积分在级数求和上的应用，阜新高专学报，1994，11（2）

[3]同济大学数学系.《高等数学》北京，高等教育出版社.2006.7。