波动方程初边值问题的求解

樊 龙

(山西大同大学煤炭工程学院，山西 大同 037000)

波动方程初边值问题的求解

樊 龙

(山西大同大学煤炭工程学院，山西 大同 037000)

目的波动方程求解通常采用的方法是波的反射原理以及Fourier级数法，前者通过计算波在边界上反射的次数，写出相应解的公式，缺点在于未得到一个统一公式，后者得出的解是较为复杂的Fourier级数形式，不利于体现波动方程解的本质特征。新的方法通过D’Alambert公式得出一维波动方程初边值问题的通解公式。方法先对问题的初边值进行相应的奇偶性延拓，然后再利用D’Alambert公式得出问题在相应区域的显式表达，即初边值问题的通解公式。结果通过D’Alambert公式以及函数的延拓，给出波动方程混合问题的通解公式。结论此种方法较前两种更为直接明了且直观，体现了波反射原理的本质，通过D’Alambert公式和延拓的组合写出了一维波动方程混合问题的通解公式，结论具有一般性。

波动方程；D’Alambert公式；延拓；通解

本文主要讨论以下初值问题：

(1)

波动方程求解常用的方法是波的反射原理[1-6]以及分离变量法[7-9]，缺点在于波的反射原理只提及波经过有限次的反射即可得到以上问题的解，并未给出一般的表达式，而分离变量法给出的解为级数形式，不利于体现方程和解之间的联系。本文利用D’Alambert公式，对初值函数进行对应延拓，直接给出方程在各个区域的解的显示表达，进一步完善了已有结果，且给出了通解公式。

1 主要结论

为了求解问题(1)，首先考虑问题的边值，对于此类自由边界，采用文献[1]中的方法，对初值φ(x),ψ(x)关于x=0,l做偶延拓，则函数的解必满足边界条件，具体过程在此省略。因此给出以下结论：

定理1：对于问题(1)，对函数φ(x),ψ(x)对于点x=0,x=l均作偶延拓，即

2 结论证明

在证明定理1之前给出以下引理：

引理1：在定理1中延拓之后的函数Φ(x),Ψ(x)可表示为

(2)

(3)

证明：只需证明函数Φ(x)是关于x=0,x=l的偶函数，且最小正周期为2l。

当0lt;xlt;l时，p=0，Φ(x)=φ(x)；

当-1lt;xlt;0时，p=-1，Φ(x)=φ(-x)；

同理可得Ψ(x)也具有同样形式，引理证毕。

下面开始定理证明：

首先问题(1)的解可用达朗贝尔公式表示

(4)

解中关于Φ(x)部分的表达式直接带入即得：

接下来分析积分部分，此时将问题分情况讨论：

①n为偶数，m为偶数

由于ψ(x)是关于x=0,l的偶函数， 所以对于k∈Z有

进而

②n为奇数，m为偶数

③n为偶数，m为奇数

④n为奇数，m为奇数

所以综合可得

(5)

将(5)代入(4)，定理1证毕。

推论1：

①当边值条件为u(0,t)=0，u(l,t)=0，t≥0，解为

②当边值条件为ux(0,t)=0，u(l,t)=0，t≥0，解为

③当边值条件为u(0,t)=0，ux(l，t)=0，t≥0，解为

推论2：本文讨论的边界均为齐次情形，当出现非齐次情况ux(0,t)=a(t),ux(l,t)=b(t)时，可对边界做齐次化处理，即做如下变换：

代入后即得关于v(x,t)的齐次边界问题，其他边界类型也可做类似处理，具体过程在此省略。

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[责任编辑：刘志媛英文编辑：刘彦哲]

SolutiontoInitialBoundaryProblemofa1DWaveEquation

FANLong

(School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong，Shanxi 037000，China)

ObjectiveThe most commonly used methods to solve 1D wave equation are the principle of reflection wave and Fourier series methods.By the former one,we can get corresponding solution formula by calculating the wave reflection on the boundary.But the shortcomings is that it is not a general solution.By the latter one,the solution of Fourier series form is complex,but the essential embodiment of wave equation is not reflected.The general solution to the initial boundary problem of one-dimensional wave equation is obtained by using D’Alambert formula.MethodsTaking corresponding extension of the initial boundary value problem,and then using the D’Alambert formula we get general solution of boundary value problem.ResultsThe general solution to the mixed problem of wave equation can be obtained by D’Alambert formula.ConclusionThis method is more straightforward and intuitive than the other ones in reflecting the essence of the principle of wave reflection.We can write the general solution formula of mixed problem of one-dimensional wave equation by the combination of the D’Alambert formula and the extension,and the conclusion is general.

wave equation;D’Alambert’s formula;extension;general solution

来稿日期：2016-12-14

樊龙(1989-)，男，山西忻州人，山西大同大学煤炭工程学院助教，硕士，研究方向：偏微分方程。

O 175.27

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.11.002