分形空间上的新Hadamard型不等式及应用

孙文兵

(邵阳学院 理学院,湖南 邵阳 422000)

分形空间上的新Hadamard型不等式及应用

孙文兵

(邵阳学院 理学院,湖南 邵阳 422000)

根据分形集上局部分数阶积分和第二种意义下广义s-凸函数的理论,建立了几个分形集Rα(0＜α≤1)上涉及局部分数积分的Hermite-Hadamard型不等式.最后,给出了所得不等式在数值积分误差估计中的应用.

Hermite-Hadamard型不等式; 广义s-凸函数; 局部分数积分; 局部分数阶导数;分形空间

0 引 言

设f:I⊆R→R是一个凸函数,若a,b∈I且a＜b,那么有如下不等式成立.

这就是著名的Hermite-Hadamard不等式(或者Hadamard不等式).对Hadamard不等式的研究和推广往往是建立在函数凸性定义之上的,随着函数凸性定义的推广,Hadamard不等式的研究受到越来越多学者的关注,关于Hadamard不等式的一些研究结果,读者可以参见文献[1-7]等.

近年来,分形理论作为一门新理论、新科学已在科学工程领域有非常广泛的应用.分形理论是用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物.研究表明用分形分维的数学工具来描述研究客观事物,更易于揭示世界的本质.因此,分形数学的发展也十分迅速,尤其是分形空间上的微积分理论发挥着重要的角色,很多学者用不同的方法构建了分数阶微积分,见文献[8-11].在文献[10]中Yang系统阐述了建立在分形空间上的局部分数阶微积分的相关理论.

文献[12]中,Mo等提出了关于分形空间上广义s-凸函数的两种概念,定义如下.

定义0.1 设R+=[0,∞),函数f:1时,有以下不等式成立

则称f为定义在R+上第一种意义下的广义s-凸函数(0＜s＜1),记为f∈

定义0.2 设R+=[0,∞),函数f:R+→ Rα,对任意x1,x2∈R+,λ1,λ2≥ 0,若λ1+λ2=1时,有以下不等式成立

则称f为定义在R+上第二种意义下的广义s-凸函数(0＜s＜1),记为f∈

文献[13]中,Mo等建立了分形空间上第二种意义下关于广义s-凸函数的推广的Hermite-Hadamard不等式.

定理0.1(广义s-凸Hermite-Hadamard不等式) 令f:R+→Rα是第二种意义下上的一个广义s-凸函数,其中s∈(0,1).令a,b∈[0,∞),a＜b.如果f∈Cα[a,b],则

本文立足于Yang构建的局部分数阶微积分理论的基础上,引入Mo等关于分形集上广义s-凸函数的理论以及广义H¨older不等式,对Hermite-Hadamard型不等式进行推广,得出了Hermite-Hadamard型不等式在分形空间中的几个变式,为了体现所建立的不等式的应用意义,最后举例说明了这些不等式在求局部分数阶积分上的应用.

1 预备知识

设Rα为分形实线上的α型集合,利用Gao-Yang-Kang的方法给出局部分数阶导数和局部分数阶积分的定义[10-11].

定义1.1[10]设f:R→Rα,xf(x)是一个不可微函数,如果对于任意的ε＞0,总存在δ＞0,其中ϵ,δ∈ R,使得当|x−x0|＜ δ时有

成立,则称不可微函数f在x0处局部分数阶连续.如果f(x)在区间(a,b)上局部分数阶连续,记为f(x)∈Cα(a,b).

定义1.2[10]若

则称之为f(x)在x=x0处的α阶局部分数阶导数.如果对任意的x∈I⊆R,有f(n+1)α(x)=f(x)(n+1次α阶导数),则记为f∈D(n+1)α(I),其中n=0,1,2,···.

定义1.3[10]设f(x)∈ Cα[a,b],a=t0＜ t1＜ ···＜ tN−1＜ tN=b,[tj,tj+1]是区间[a,b]的一个划分,∆tj=tj+1−tj,∆t=max{∆t0,∆t1,···,∆tN−1},有

则称之为f(x)的α阶局部分数阶积分.

引理1.1[10]

(1)设f(x)=g(α)(x)∈ Cα[a,b],则

引理1.2[10]

2 主要结果及证明

引理2.1 设I⊆R是一个区间,f:I0⊆R→ Rα(I0是I的内部)使得f∈Dα(I0)且fα∈Cα[a,b],a,b∈I0,a＜b.则对于任意x∈[a,b],下面等式成立.

证 明 根据局部分数阶积分的分部积分公式(引理1.1)和引理1.2,可得

由于(a−b)α= −(b−a)α,两边再同乘以(b−a)α,等式(3)得证.

根据引理2.1,可以得到以下结论.

定理2.1 设f:I → Rα,I ⊂ [0,∞)在I0上是一个可微函数,且其中a,b∈I,a＜b.若对于某个固定的s∈(0,1),上是第二种意义下的广义s-凸函数,其中q＞1,则有如下不等式成立.

证 明 在引理2.1的等式两边同时取模,并且利用广义H¨older不等式(引理1.3),计算可得

由引理1.2,计算可得

将等式(10)—(13)代入不等式(9),可得不等式(8).定理得证.

再由引理1.2,类似于(10)—(11)式计算可得

通过计算可得

将(16)、(18)—(23)式代入(15)式可得不等式(14),定理得证.

证 明 由定理2.1的证明中的不等式(9),可得

同理,

将(10)、(11)、(26)、(27)式代入不等式(25),定理得证.

3 数值积分中的应用

下面考虑文中建立的涉及局部分数阶积分的不等式在局部分数积分的数值求积中的应用,可用这些不等式估计数值求积结果的误差.

令In为区间[a,b]上的一个分划,0＜a＜b,且In:a=x0＜x1＜···＜xn=b,考虑下面的局部分数阶求积公式

其中,T(f,In)为逼近局部积分aIαbf(x)近似计算的中点型公式,其构造为

命题3.1 设f:I→ Rα,I⊂ [0,∞)在I0上是一个可微函数,且fα∈ Cα[a,b],其中a,b∈I,a＜b.若对于某个固定的s∈(0,1),在[a,b]上是第二种意义下的广义s-凸函数,其中q＞1,则对于区间[a,b]上的任意一个分划In,由公式(28)确定的数值积分,其余项E(f,In)满足如下不等式.

证 明 根据定理2.1,对于分划In的每一个子区间[xi,xi+1](i=0,···,n−1),有

当i从0到n−1对上式两边求和,并由三角不等式,得

结论得证.

注 类似于命题3.1的方法,由定理2.2,定理2.3可以得到其他类似的误差估计式.

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[13] MO H X,SUI X.Hermite-Hadamard type inequalities for generalized s-convex functions on real linear fractal set Rα(0＜α＜ 1)[J].Math Sciences,2017,11(3):241-246.

(责任编辑:林 磊)

New Hadamard-type inequalities on fractal space and their applications

SUN Wen-bing
(College of Science,Shaoyang University,Shaoyang Hunan 422000,China)

In the paper,using local fractional calculus theory and the theory of generalized s-convex function in the second sense on fractal sets,some new Hermite-Hadamard type inequalities involving local fractional integrals on fractal sets Rα(0＜ α ≤ 1)were established.Finally,some applications of these inequalities to some error estimates for numerical integration were given.

Hermite-Hadamard type inequalities;generalized s-convex function;local fractional integral; local fractional derivative; fractal space

O178

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.06.003

1000-5641(2017)06-0033-09

2016-11-17

国家自然科学基金(61672356);邵阳市科技计划项目(2016GX04)

孙文兵,男,副教授,研究方向为解析不等式、智能算法.E-mail:swb0520@163.com.