债券定价中的几个常见疑问及教学探索

骆桂娣　徐珺

【摘 要】债券定价是金融资产定价中的基本问题。债券定价原理看似简单，但一旦深究就会发现诸多问题。比如贴现率如何确定，现金流是否确定等，初学者往往困惑不解。该文从债券定价基本公式出发，针对学习过程中存在的4个常见问题进行细致分析，并分享了教学探索经验，为有效提高教学质量提供思路。

【关键词】债券定价；现金流；利率；违约

0 引言

债券定价问题金融学教学内容中的基本内容，在《利息理论》、《固定收益证券》等课程中均有涉及。其基本思想是把债券的当前价值看成未来现金流现值之和。尽管定价思想容易理解，并不意味着定价方法容易掌握。学生对贴现利率的多种解释，未来现金流是否确定等都容易产生疑问。有些疑问并未在教材中深入探讨，学生往往深感困惑。如何发挥教师的引导作用，深入浅出地给学生解疑释惑非常重要。马驰（2011），郗群（2015）， 吴兰芬（2015）等均对此做过有益的探讨。本文将深入分析债券定价中的疑点难点问题，分享教学经验，供读者讨论。

1 债券定价中的4个疑问及思考

基于货币的时间价值，债券在当前时刻的理论价值等于债券未来现金流的现值之和。学生在计算未来现金流现值的时候通常会遇到诸多疑问。下面结合债券定价基本公式进行探讨。假设某债券面值为F，它当前时刻的价值是P。该债券每年付息一次，下次付息在1年后，息票率为r，即每期债券持有人可以获得利息rF。该债券n年后到期，到期偿还值为Cn。该债券的现金流如图1所示：

假设到期收益率为y，那么

该公式被称之为债券定价基本公式。公式中等式左边P是债券持有人现金流出量现值，等式右边是债券持有人现金流出量的现值。显然，债券价格P是关于y的函数。对P关于y求导可知一阶导函数小于0而二阶导函数大于0。换句话说，P是关于y的凸的减函数。学生往往对如下问题感觉十分困惑。

疑问1 有时教材将y称为“市场利率”，该如何理解？

实际上，市场上存在许多类型的债券，每种债券都有各自的风险和未来现金流。债券的风险主要包括利率风险，信用风险，流动性风险等。一般而言，债券本身的风险越高，债券持有者承担的风险越高，随之获得的回报也应当越高。相同风险和相同未来现金流的债券应当具有相同的价格。因此，利用公式（1）对高风险债券定价时所使用的y较大，而对低风险债券定价时所使用的y较小。y实际上反映了债券持有人所承担风险的大小。当然，y除了受到债券自身风险的影响以外，还要受到供求关系、税收政策等诸多因素其他因素影响。在完全竞争的市场假设下，每个债券一级市场的发行者或者二级市场的出售者都是市场价格的接受者，而不是决定者。因此，公式（1）中的y是具有与该债券相同风险和相同未来现金流的债券的平均收益率，它是由市场决定的，故称为“市场利率”。此时，用市场利率y计算出来的价格P就是该债券的理论上的市场价格，将在例1中给出进一步解释。

疑问2 有些教材上称y是“投资者所要求的回报率”，该如何理解？

众所周知，不同的投资者可能经营目标、风险态度，或者融资成本有所不同，因此在他们投资债券时所要求的回报率不同。比如，保守的投资者所要求的回报率可能是4%，而激进的投资者所要求的回报率可能是10%。再比如投资者A的融资成本是年利率4%，他愿意投资回报率为4%以上的债券；而投资者B的融资成本是7%，他要求的投资回报率应该在7%以上。当公式（1）中y是“投资者所要求的回报率”时，那么计算出来的价格P就是该债券在此投资者心目中的价值。由于P关于y递减，故投资者所要求的回报率y越高，则该债券在此投资者心目中的价值越低，他越不愿意出高价购买。反之，投资者所要求的回报率越低，则该债券在此投资者心目中的价值越高，他越愿意出较高价格购买。从而，同一张债券在不同的投资者心目中的价值可能不同，这也是债券交易促成的一种解释。下面用具体的例子说明以上问题。

例1：某债券面值为F=1000，该债券每年付息一次，息票率为r=6%，下次付息在1年后。该债券3年后到期，到期偿还值为面值。请根据公式（1）回答如下问题：

（1）如果市場利率y=6%，请估计该债券的当前理论价格。

（2）如果投资者A所要求的必要回报率为y=5%，那么他愿意为购买该债券最多支付多少钱？

（3）如果投资者B所要求的必要报酬率为y=8%，那么他愿意为购买该债券最多支付多少钱？

【解】：（1）如果市场利率y=6%，则该债券的市场理论价为：

（2）如果投资者A所要求的必要回报率为y=5%，则该债券在投资者A心目中的价值为：

故投资者A最多愿意支付102.72元购买该债券。

（3）如果投资者B所要求的必要报酬率为y=8%，则该债券在投资者B心目中的价值为：

故投资者B最多愿意支付94.85元购买该债券。另外，如果该债券的真实市场价等于市场理论价100元，那么投资者A愿意购买，因为他认为该债券价值应当是102.72元；而投资者B愿意以100元抛售该债券，因为在B的心目中该债券只值94.85元。

疑问3： 公式（1）中的y是债券持有人在n年内的年平均收益率吗？

在前面两个问题中已经说明了y可以理解成市场收益率或者投资者所要求的必要报酬率。那么y是否就是投资者在n年内的年平均回报率呢？ 不妨对公式（1）两边同时乘以（1+y）n，可以得到：

P（1+y）=rF（1+y）n-1+…+rF（1+y）+rF+Cn………（2）

公式（2）的等号左边表示P按照利率y复利n年的累积值，等号右边表示债券持有人将所有的债券利息都按照年利率y复利累积到n时刻。由此可见，债券持有人要想在n年内的年平均收益率刚好是y，那就需要在市场上寻找其他投资机会，将每期获得的债券利息进行再投资，并且再投资利率也恰好是y，否则论断不成立。比如每期获得的债券利息不作再投资，那么到n年末的总财富应当是 nrF+Cn，显然小于公式（2）中的右式。此时计算出来的n年内年平均回报率一定小于y。反之，如果每期债券利息按照某个大于y的利率进行再投资，那么n年内年平均回报率一定大于y。为使问题更加直观，下面举例说明。endprint

例2：某债券面值为F=1000，该债券每年付息一次，息票率为r=6%，市场利率y=5%，下次付息在1年后。該债券3年后到期，到期偿还值为面值。请回答如下问题：

（1）如果每期债券利息按照5%的年利率进行再投资，那么3年内债券持有人的年平均收益率是多少？

（2）如果每期债券利息按照3%的年利率进行再投资，那么3年内债券持有人的年平均收益率是多少？

（3）如果每期债券利息按照8%的年利率进行再投资，那么3年内债券持有人的年平均收益率是多少？

解：（1）因为该债券利息的按照y=5%进行再投资，根据公式（2）可知该债券3年内年平均收益率恰好是5%。

（2）由题意可知，每期债券利息是60元。到第3年年末债券持有人的总财富是 60（1+3%）2+60（1+3%）+60+1000=1185.45元，由例1知该债券价格是1027.20元。如果记年平均回报率为x，那么

1027.20（1+x）3=1185.45

计算可知，x=4.89%，它小于y=5%。

（3）类似与（2），记年平均回报率为z，那么

1027.20（1+z）3=60（1+7%）2+60（1+7%）+60（1+7%）+60+1000

可解得z=5.11%，它大于y=5%。

疑问4 考虑违约可能性时应如何对债券进行定价？

任何一种债券都有一定的违约可能性，信用风险始终存在。一旦发生违约，债券发行者就可能按照发行条款按约还本付息。换句话说，由于信用风险的存在，债券未来的现金流不是固定的而是存在一定的随机性，这种不确定性给定价带来了巨大的挑战。严格地来讲，应该对债券未来随机现金流进行贴现求出随机价格，然后再求期望值获得该债券的理论价值。为了便于读者和学生理解，图2给出考虑违约可能性的债券现金流示意图。图2中τ表示债券违约发生时刻，它是一个随机变量；[τ]表示对τ取整，它是数轴上离τ最近且比τ小的正整数；T=[τ]∧n表示债券违约时刻τ取整值与到期时间n中较小的那一个数，它是最后一次正常支付利息rF的时刻； Cτ∧n表示τ∧n时刻的偿还值，它通常小于面值F。显然，τ≥n意味着债券在到期日之前没有违约，此时τ∧n=n，图2退化成图1形式；τ

类似公式（1），定价原理是当前债券价格P应当是未来现金流的贴现。但是，由于随机的违约事件，未来现金流的现值也是一个随机变量，所以应当对未来随机现金流现值求期望。所以，相应的定价公式应当是：

P=E…………………（3）

公式（2）涉及到违约时刻、违约时偿还值等随机变量，这些数值需要借助历史经验数据进行估计、模拟。显然，公式（2）的计算十分复杂，在本科阶段一般不采用这种随机定价的方法，而是采用基本公式（1）中较为简单的方式进行定价。该公式的思路是先假定未来现金流固定即不考虑违约的可能性，而是采用利率y来反映包括信用风险在内的各种风险。可以把目标债券的收益率y用无风险利率y0表示出来，即y=y0+δ，这里δ≥0被称之为利差，它反映了该债券的信用风险、流动性风险、提前赎回风险、税收待遇等，它是对债券持有人承担这些风险的一种补偿。风险越高δ越大，从而导致债券理论价格P越小，那么债券持有人就可以用较为便宜的价格购买该债券，同时也承担了较高的风险。公式（1）使债券定价问题得到大大简化，更为复杂的定价方法要留待研究生阶段学习。尽管公式（2）的具体计算对学生不作要求，但是它的定价思想可以向学生介绍。从作者教学经验来看，它能够起到激发学生学习兴趣的作用。

2 相关教学探索

能否分析债券定价中的实际问题是检验学生对知识掌握程度的重要标准。在债券定价理论教授完毕之后可结合我国债券市场实务进行探索性教学，实质性提高学生分析实际金融问题的能力，激发学生学习兴趣。

（1）分析我国债券发行情况。要求学生搜集资料，分组梳理我国政府债、金融债、企业债等发行历史，讨论各自的发行特点、是否附息、常见条款，销售方式等。让学生全面了解我国各类债券的发行情况。

（2）构建我国债券收益率曲线。对学生进行分组，要求每组学生搜集一段时间窗口内不同种类的信息，包括到期时间、付息情况、到期时间等，汇集成表格。然后根据公式（1）计算不同种类债券的到期收益率，并构建收益率曲线。具体包括中债国债曲线，中债地方政府债曲线、中债城投债曲线、中债商业银行债券曲线等。要求每组学生代表在课堂上展示债券收益率计算细节，并将自己计算出的结果与中国债券信息网所公布的曲线图对比差异，查找原因。

（3）分析近年来我国债券违约情况。要求学生搜集整理近年来我国债券违约情况，制作统计图表。要求学生追踪热点债券违约事件，重点分析这些债券的违约原因。具体工作包括：债券发行时风险评级；债券发行时的价格和收益率；债券发行人在违约前的经营情况；违约前的市场价格和收益率波动情况；违约损失程度；违约发生后的处置方案及产生的影响等。

【参考文献】

[1]马驰.关于离散时间下可转换债券定价模型的课堂教学探讨[J].中国科技信息，2011（2）.

[2]郗群.任务驱动法与财务管理教学—以债券估价为例[J].当代经济，2015（10）.

[3]吴兰芬.用实际利率法计量金融资产的教学方案研究[J].职业，2015（6）.