麦克斯韦方程组的推导及应用

戢予 周桐 赖秋宇 重庆邮电大学光电工程学院重庆国际半导体学院

麦克斯韦方程组的推导及应用

戢予 周桐 赖秋宇 重庆邮电大学光电工程学院重庆国际半导体学院

经典物理学中的电磁现象是最具吸引力的现象之一，而要研究这些有趣的现象，麦克斯韦方程组则是最好的工具。我们以最经典的方式，即由其理论基础经过严格的数学推导，来尝试得到麦克斯韦方程组。本文所展示的详细推导过程可让读者，不论是初次接触还是资深学者，均对麦克斯韦方程组有更加深刻的感悟，对电磁学科中的相应知识也能更好的掌握。同时，本文也列举了麦克斯韦方程组的两个经典应用，波导及天线与辐射系统，供读者参考。

麦克斯韦方程组 法拉第电磁感应定律 波导 天线

1 概述

麦克斯韦方程组Maxwell equations是麦克斯韦总结了库仑、安培、法拉第的研究成果后，归纳出的描述电场和磁场的基本方程，预言了电磁波的存在。它作为电磁学的基础，解释了经典物理中的电磁现象。

2 理论基础

2.1 两个恒等式

任何一个标量场的梯度的旋度为零，如下列等式所示：

任何一个矢量场的旋度的散度为零，如下列等式所示：

2.2 高斯定理

在任一自由空间中的闭合曲面上向外的电场强度的通量总和，等于闭合面内所包含的电荷总量与绝对介电率之比，也就是说：

2.3 法拉第电磁感应定律

在静电场与静磁场中，电场强度E与磁场强度H是相互独立的两个物理量，而在时变场中，电场和磁场会产生相互影响。经大量实验，我们可以发现，时变的磁场（磁通量的改变）会产生感应电动势，从而影响电场强度的大小及方向，基本的转化关系如下所示：

上式表明，在空间中的任意一点，无论是在自由空间还是媒质中，时变磁场产生的电场是一个涡旋电场，且不能用标量电位的梯度的旋度进行表示。该方程也是麦克斯韦方程组中的其中之一。

2.4 电流连续性方程

假设有一个体积为V，表面积为S，且有一个带电量为Q的电荷存在的区域，如果有电流流出这个区域，那这个区域电荷减少的速率则等于该电流大小，于是我们可以得到：

根据散度定理，则有：

上式中ρ为体电荷密度，化简之后即可得到：

3 推导

（1）由于电通量密度D与电场强度E的关系为：

若此处的ρ是自由电荷密度，则高斯定理可以改写为：

（2）在静磁场中，物理现象遵循安培环路定理，也就是说，磁感应强度沿闭合回路积分与磁导率和流过的电流之积相等，所以我们可以得到以下等式：

但是我们从之前的分析可以得知，时变情况下的，为了满足两个恒等式的要求，我们根据电流连续性方程来修正安培环路定理，又因为（1）中已知所以：

（3）最后，由于磁通量是连续的，所以闭合面的磁通量为零。于是我们最终整理出四个电磁场的相关方程：

是为麦克斯韦方程组。

4 应用

我们对电磁场的所有分析都是基于麦克斯韦方程组的，结合不同的边界条件，我们可以得到麦克斯韦方程不同的应用。在此举两个典型的实际应用。

4.1 波导

规则金属波导是指各种截面形状的无限长的笔直的空心金属管，其截面形状和尺寸、管壁的结构材料及管内介质填充情况沿其金属管轴线方向均不变，被引导的电磁波被完全限制在导管内纵向传播。其导管内的电磁场可以由麦克斯韦方程组，在特定的边界条件下求得，理想导体的边界电场和磁场都为0，从而限制了传输的电磁波的频率。

4.2 天线与辐射系统

为了能将电磁能量辐射出去，我们设计出了天线这种装置。天线可以由加了电压的一根直导线或者一个导体环，再或者辐射元阵列构成，它可以作为发射机的末端，也可以作为接收机的前端。研究天线的方法便是运用我们之前提到的麦克斯韦方程组以及时变电磁场。天线的主要辐射特性包括：方向性系数、增益、工作频带以及天线阻抗。

5 总结

麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。此外，它在物理上以“场”而不是以“力”作为基本的研究对象也是一次伟大突破。

[1]David K.Cheng.电磁场与电磁波[M].清华大学出版社，2007,（07）

[2]廖承恩.微波技术基础[M].西安电子科技大学出版社,2013,（07）

[3]徐锐敏.微波网络及其应用.科学出版社[M]，2010,（07）