函数概念的演变

欧婷婷

[摘 要]函数是数学中最基本，应用范围最广的一个概念，从初等数学到高等数学都离不开函数这一概念，函数的概念并不是一开始就确立，而是经历了由片面到全面的一个发展过程，最终形成现代函数的概念，从函数概念演变的过程，我们可以更加全面的理解现代函数的概念。

[关键词]函数；概念；发展；演变

函数概念的产生距今只有三百多年，产生时间与微积分这门学科差不多，实际上函数概念得以迅速发展是在16世纪以后，特别是随着微积分这一学科的建立，函数概念逐步发展和完善。现代函数概念的确立经历了以下几个阶段

一、常量数学下的函数

在16世纪之前，数学主要研究的是常量数学，其特点是用孤立、静止的观点去研究事物，具体函数比比皆是，但没有一般的函数概念。比如代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，这些研究中已经涉及到函数的概念，只是还没有人意识到要将这一概念提炼出来。

二、变量思想下的函数

到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题，数学研究也从常量数学转向了变量数学。17世纪伽利略的《两门新科学》一书中，处处包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系，如：两个等体积圆柱体的面积之比，等于他们高度之比的平方根。两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于他们高度之比的反比。从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。这些表述非常清楚的表明伽利略已涉及并讨论变量和函数。1673年法国数学家笛卡尔在《几何学》一文中首先引入变量思想，称为”未知和未定的量”，同时注意到两个变量之间的相依关系。这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。但并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。

三、解析几何下的函数概念

17世纪中叶，微积分的创始人之一德国数学家莱布尼兹最先使用函数（function）这个名词。不过他指的是变数x的幂，后来才逐步扩展到多项式函数、有理函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数以及由他们的四则运算、各种复合所形成的初等函数。这些函数都是具体的，都有解析表达式，把具体的函数看成曲线进行研究，函数和曲线紧密联系在一起。那时的函数就是表示任何一个随着曲线的点变动而变化的量。尽管当时还没有建立实连续的概念，但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利曾对曲线ex次方进行过研究，瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲线，并注意到了这一函数的周期性。至此，还没有函数的一般定义。

18世纪初，第一个在莱布尼兹工作的基础上作出函数概念推广的是伯努利，他最先摆脱具体初等函数的束缚，给函数一个抽象的不用几何的定义”一个变量的函数是指由这个变量和常数以任意一种方式构成的量”这里所说的任意方式，包括代数式子和超越式子。

欧拉则更明确地说：”一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式。1734年，欧拉用记号y=f（x）表示变量x的函数。

到了18世纪，甚至19世纪初，函数由一个解析式给的观点仍然占统治地位，并认为”连续曲线给出的连续函数一定能由一个解析表达式表示””由不连续的曲线或折线所表示的函数不能由一个解析式表示。”

1800年左右，数学家开始关心分析的严密化问题，函数概念自然也成为严密化的对象。具体表现在两个方面：一方面对原来有关函数的错误看法和片面的观点进行澄清纠正；另一方面继续探讨函数概念的本质，建立含义更广泛的函数概念。第一个冲破用解析式给出函数的观点是拉科鲁瓦，他在1797年给出的函数定义是：每一个量，如果他依赖一个或几个别的量，不管人们知不知道用何种必要的运算可以得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。这是对函数概念的又一次扩展。

在这一时期，傅里叶对函数的概念的发展做出了巨大的贡献，尽管他支持用解析式给出函数的观点，但他更深刻地揭示了函数的本质，他在1807年发表的《热的分析理论》中，证明了”由不连续的曲线给出的函数，能用一个三角函数式来表示。”通过实例分析，傅里叶指出”不连续函数可用一个式子，或者可用多个式子来表示。”这就否定了”不连续函数不可能用一个解析式来表示”的观点。傅里叶通过实例指出”在某一区间上恒有相同函数值的两个函数是完全相同的”这一错误的观点。

柯西于1823年分别给出了变量和函数的定义，指出”人们把一次取许多互不相同的值的量叫做变量。”“当两个变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是其中的一个来表示的，这时这个变量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其它的量就叫做这个自变量的函数”，这里不管是用一个式子还是多个式子表示，只要对于每一个x，都有完全确定的y与它对应，y就是x的函数。这一概念中还是局限于解析式的计算，突破这一限制的是狄利克雷，他给出的定义是：对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起的这种对应方式如何，都称y是x的函数。这个定义用对应的思想定义函數，至于连接方式是数学运算或其他无关紧要。

这是函数概念的又一次扩充，将对应关系由数学运算扩展到任意的对应方式。

四、集合概念下的现代函数

康拓建立了集合论后，函数概念在集合概念的基础上得到最终完善，变量从数扩展到集合。

19世纪，维布伦用”集合”和”对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了”变量是数”的局限，变量可以是数，也可以是其他对象（点、线、而、体、向量、矩阵等）。

1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变元，元素Y称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结。

函数概念的演变过程，就是一个函数内涵在不断地被挖掘、丰富和精确刻画的历史过程；同时看出数学概念并非生来就有，一层不变，而是人们在对客观世界深入了解过程中得到，并不断加以发展的，从而以适应新的需要，体现了马克思主义哲学的认识论。endprint