浅谈逆向思维在数学中的应用

冯潇凡

摘 要：在数学学习过程中，面对不同的问题，运用不同的方法去思考，从不同的角度去观察，往往会使人产生灵感，激发创造性思维。逆向思维就是一种不可低估的创造性思维。所谓逆向思维，就是把问题倒过来想，或从问题的反面去想。合理运用逆向思维，可以把数学问题化隐为显、化繁为简、化难为易，为我们拓宽解题思路，丰富解题技巧，提升解题速度。

关键词：逆向思维；数学；应用

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）33-0054-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.33.029

一、 运用定义、定理，化隐为显

在数学这门学科中，存在着大量的定义、定理，而对于这些定义、定理，适当地进行逆用是一种非常有效的解题方法。

例1.三角形三个外角中，最多有几个锐角？

很明显，三角形最多只能有一个内角是钝角，所以三个外角中最多只能有一个是锐角。也就是把外角问题转化为内角问题，答案显而易见。

例2.顺次连接四边形中点所得四边形是菱形，则原四边形为（ ）。

A. 菱形 B.任意四边形

C.对角线相等的四边形 D.梯形

本题若对四项备选答案逐一论证，不仅难以证出且易出错，但通过运用逆向思维，再根据菱形的性质和三角形中位线定理，就很容易推出正确答案C。

二、 运用公式、法则，化繁为简

通过对公式、法则的逆运用，能有效降低问题难度，将某些看似复杂的问题简单化，进而轻松将之解决。

44项经两两结合成22对，每一对的乘积都是222，结果正好是2，原式得证。

三、 从反面探求解题思路，化难为易

面对许多用正向思维无法解决的问题，逆向思维往往令人眼前一亮、茅塞頓开，使解题之路柳暗花明。

例5.若三个一元二次方程：

x2+4ax-4a+3=0

x2+（a-1）x+a2=0

x2+2ax-2a=0

至少有一个方程有实数根，求a的范围。

若要从正面解答此题。要一一讨论，将不胜其烦。若从反面入手，先求三个方程都没有实数根时a的范围，再从全体实数中排除此时a的取值，则很容易求得答案。过程如下：

例6.某社团共有52人，其中39人喜欢戏剧，40人喜欢体育，41人喜欢摄影，42人喜欢写作，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？

如果直接求四项活动都喜欢的人数至少是多少，难以下手。我们试着从反面去想，社团中不喜欢戏剧的有13人，不喜欢体育的有12人，不喜欢摄影的有11人，不喜欢写作的有10人。为了让不喜欢的人数最多，就让每项活动不喜欢的人不重复，那么四项活动不是都喜欢的人共有：13+12+11+10=46人，则剩下的就是四项活动都喜欢的人数的最小值：52-46=6人。

通过以上几例，充分说明逆向思维在求解数学题过程中应用广泛，且行之有效。对于那些用常规思路无法求解或不易求解的问题，逆向思维带有出奇制胜、事半功倍之效。所以，我们分析问题，不但要学会正向思维，而且还要学会逆向思维。

参考文献：

[1] 张国法，李日华.浅谈逆向思维法在数学中的应用[J].高等数学研究，2006（3）：13-14.

[2] 张明会，高婷婷.浅谈“逆向思维”解题法在数学分析中的应用[J].科教文汇，2009（18）：109.

[3] 方光雄.浅谈逆向思维在数学中的运用[J].中学数学，1986（11）.

[4] 张晓辉，刘华志.由“司马光砸缸”想到的——浅谈逆向思维在数学中的运用[J].中小学数学：初中版，2011（Z1）：38-39.endprint