基于双树复数小波的快速二步迭代混合范数算法

叶润武 陈晨 刘委 孙旭 高亚红 孔尧 张鑫晟 孙海威

摘要：以双树复数小波基为稀疏基，局部哈达玛矩阵为观测矩阵，在IST算法的基础上提出一种改进的快度二步迭代混合范数算法，目标函数采用混合范数模型，二步迭代加速了目标函数的优化，二步迭代混合范数算法收敛于混合目标函数的最小值。改进的算法重构速度高于IST算法的2.5倍，图像的均方误差减小50%以上。与以DCT为稀疏基、高斯矩阵为观测矩阵、快速二步迭代混合范数算法为重构算法的压缩感知重构系统相比，改进算法的峰值信噪比提高了约1dB，表明改进算法具有更好的图像重构质量和重构速度。

关键词：压缩感知；图像重构；稀疏变换；混合范数；二步迭代

DOIDOI：10.11907/rjdk.171763

中图分类号：TP312文献标识码：A文章编号：16727800（2017）010005403

0引言

压缩感知系统中图像重构是一个求解反问题的过程[13]。该问题可以通过基于0范数的贪婪算法求解，也可以转化为求解基于1范数的凸优化问题求解。贪婪算法重构效果不及凸优化算法，但凸优化算法计算复杂度更高。为了研究更加高效的压缩感知系统，鉴于贪婪算法重构速度快和凸优化算法图像重构效果佳的特点，本文提出一种改进的混合范数算法。它是一种以双树复数小波为变换基，测量矩阵为部分哈达玛矩阵的快速二步迭代混合范数算法，混合范数模型是建立图像恢复的目标函数，二步迭代加速了最小目标函数的优化。对于给定参数，二步迭代混合范数算法收敛于混合目标函数的最小值。

1双树复数小波变换

在数字图像处理中，小波变换的优点在于它能很好地保存图像的边缘特性，因此是研究中重点选取的变换。一般的离散小波变换存在平移不变性和方向选择性较差等缺陷，无法最优地表达图像边缘特征。在上述事实基础上，Kingsbury[4]等提出了一个新的变换，双树复数小波变换（简称DTCWT），其由于具有多方向性，可很好地减小正交小波变换中的平移不变性，改善方向选择性，这些良好特性使得DTCWT在众多领域被广泛应用。

双树复数小波通过两个相互平行的小波组成，双树复数小波的上、下支树分别是复数小波变换的实部和虚部。双树复数小波在分解过程中，第1层与其它层所运用的滤波器不同。上下支树采用的是双正交滤波器，其中一个支树采用长度为奇数的高通滤波器，该支树的采样序列中点偶对称；另一支树采用长度为偶数的高通滤波器，该支树的采样序列中点奇对称，上下支数相互交替就产生了复数小波变换的实部和虚部。二维双树复数小波变换的分解步骤如图1所示。

其中，小波变换的两组双正交滤波器组为h0（n）、h1（n）和g0（n）、g1（n），其可以表示为式（1）：

h1（n）=（-1）nh0（N-n）

g1（n）=（-1）ng0（N-n）（1）

其中，N为滤波器长度。

尺度函数φh（t）和小波函数ψh（t）用双正交滤波器h0（n）和h1（n）表示，如式（2）：

φh（t）=2∑nh1（h）（2t=n）

ψh（t）=2∑nh0（h）（2t=n）（2）

尺度函数和小波函数用双正交滤波器组g0（n）和g1（n）表示，如式（3）：

φh（t）=2∑ng1（h）（2t=n）

ψh（t）=2∑ng0（h）（2t=n）（3）

图2是利用双树复数小波变换处理Lena图像生成的效果图，其中（a）为Lena原图，（b）为双树复数小波处理后的Lena图。图2（b）表明，Lena图经过双树复数小波变换处理后，图像能量分散到多个方向，涵盖了图像的处理细节，优于传统的DCT和DWT变换。因此，本文选择双树复数小波基构建高性能的压缩感知重构系统。

2快速二步迭代混合范数算法

本文提出一种新的快速二步迭代混合算法，从观测信号y中恢复x，A是一个线性算子。研究混合范数模型和二步迭代算法的主要理论，再结合迭代收缩阈值算法进行实验仿真并给出实验结果。

2.1混合范数算法流程

改进算法模型结构如图3所示，原始图像在传输过程中，通常会被噪声干扰，使用混合范数模型构建图像修复模型，生成待求解的目标函数，通过二步迭代算法求解混合范数重构问题，当条件满足时能很精确地恢复出原始图像。

图像重构是一个基于最小混合范數的问题，线性算子是一个单位矩阵，F定义为图像恢复的目标函数：

f=arg min12‖Ax-y‖2F+λ·H（x）（4）

在混合范数模型中，正则化矩阵H（x）可以等价于L0范数，它平衡了L0范数和L1范数。

2.2混合范数模型

给定信号稀疏信号x和测量矩阵A，重构问题可以描述为：

min H（x）s.t.Ax=y（5）

其中，H（·）为混合范数。

混合范数模型可定义为：

H（x）=∑Ωg（x）（6）

g（u）=a|u|τ，|u|<τ

||u|-b|||u|-b|+ε，|u|≥τ（7）

其中，H（·）是上述方法中提到的混合算子。在|u|=τ时，a和b是常量，为确保函数连续可微。参数τ是一个阈值，且有0<τ<1，函数g与参数τ有关。ε>0防止了混合范数函数在交点处的不可微性。混合范数函数描述如图4所示，通过图4可以方便地理解和比较L1、L0、Lp（0

如图4所示，对于任意给定值ε和τ，混合范数函数曲线可由两部分组成。第一部分曲线，当u的绝对值较小时，混合范数曲线的斜率大于L1范数；第二部分曲线比较靠近L0范数，这部分曲线由常数ε控制。当a和b满足上文等式，混合范数两部分之间的曲线是光滑可微的。对于L1范数曲线，在R+上是严格的凸函数。通过稀疏重构可以获得唯一的精确解。在靠近L0的部分，可以通过稀疏重构求解。混合范数模型结合了L0范数和L1范数的优点，保持了重构的稳定性和精确性；并且，混合范数曲线是光滑连续的。

特殊情形下，当τ=1时，混合范数模型函数等价于L1范数函数；当τ=0时，混合范数问题等价于一个L0范数问题。对于任意的0<τ<1，混合范数混合了L0范数和L1范数的特征。给定值τ能够控制L0范数和L1范数对混合范数的贡献程度。τ越大，混合范数函数越接近于凸函数，函数最小值具有更好的收敛性。τ越小，越容易求得函数的精确解，因为混合范数更接近于L0范数。因此，一个最优化的τ是介于L0和L1范数之间的。

2.3二步迭代算法

由IST算法发展而来的二步迭代算法，其求解线性逆问题更加快速高效。在求解图像逆问题中，二步迭代算法[5]常常被用来解决高维的凸优化问题。在k+1次迭代中，二步迭代算法的迭代过程如式（8）所示。

x1=Γλ（x0）

xk+1=（1-α）xk-1+（α-β）xk+β

Γλ（x）=Ψλ{x-A*（A（x）-y）}（8）

其中，Фλ是双树复数小波变换下的一个去噪算子，A*是A的伴随矩阵，α和β是两个参数。二步算法的收敛性已得到证明，具体证明步骤参考文献[67]。混合范数重构问题可以通过二步迭代算法求解。

3实验及分析

通过实验验证二步迭代混合范数算法的图像恢复质量和收敛速度，并测试算法的有效性，通过对比IST算法和改进算法评价改进算法优势。文中观测矩阵为局部哈达玛矩阵，稀疏基为双树复数小波基。实验将高斯核函数作为模糊算子，函数窗口大小为9*9，添加噪声均值为0、方差为0.31（PSNR=40dB）的高斯白噪声。

观测图像为256*256的boat图，不同稀疏基和测量矩阵的重构算法实验结果如图5所示。

从图像视觉效果看，改进算法的视觉效果优于快速IST算法和IST算法，以双树复数小波基为稀疏基，局部哈达玛矩阵为测量矩阵的压缩感知图像重构系统的图像重构质量要优于以DCT为稀疏基，高斯随机矩阵为测量矩阵的压缩感知图像重构系统。

由表1可知，本文算法的图像重构质量要优于快速的IST算法和IST算法，重构速度远快于IST算法，仅比快速的IST算法慢5s。以双树复数小波为稀疏基，局部哈达玛矩阵为测量矩阵的重构算法的图像重构质量要优于以DCT为稀疏基，以高斯随机矩阵为测量矩阵的重构算法，但是图像重构时间有所增加。

4结语

本文在双树复数小波基和局部哈达玛矩阵的基础上，综合凸优化算法重构精度高和贪婪算法重构速度快的优点，提出了一种快速的二步迭代混合范数算法。该算法具有贪婪算法快速的重构速度和凸优化算法良好的重构精度，特别是当图像的稀疏度不够时，改进算法的重构图像清晰度更高、性能更优异。在相同观测矩阵和测量矩阵下，快速二步迭代混合范数算法的重构效果要优于IST算法和FIST算法。

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[5]BIOUCASDAS，JFIGUEIREDO M. A new twist：two step iterative shrinkage/thresholding algorithms for image restoration[J].Image Process，2007，16（12）：29923004.

[6]BIOUCASDAS，JFIGUEIREDO M. A new twist：two step iterative shrinkage/thresholding algorithms for image restoration[J].Image Process，2007，16（12）：29923004.

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責任编辑（责任编辑：孙娟）endprint