边坡坡角对临坡地基承载力的影响研究

■林晓峰

(福建建畅工程技术有限公司，福州 350001)

边坡坡角对临坡地基承载力的影响研究

■林晓峰

(福建建畅工程技术有限公司，福州 350001)

针对山区公路桥台施工常见的临坡基础问题，基于Prandtl极限承载力理论，采用极限上限分析法，推导了临坡地基极限承载力的解析式，并对相关的影响因素进行了分析。计算结果表明：临坡地基极限承载力随粘聚力增大呈线性增大趋势，随内摩擦角的增大呈指数增大趋势；边坡的存在使得地基的极限承载力发生了衰减，随着边坡坡角的增大，临坡地基的极限承载力衰减率逐渐增大，且随着内摩擦角φ逐渐增大，极限承载力衰减程度逐渐增大。在实际工程问题中，应当充分考虑边坡对临坡地基的衰减效应，而不是简单乘上一个固定的衰减系数。

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1 引言

随着我国经济快速的发展，交通建设得以大力开展，尤其是山区高速公路的建设。在山区高速公路的建设中，为满足总体路线设计要求，由于地形的限制，常需要将桥台基础布置于边坡坡顶处[1，2]，因此，为确保坡顶建筑结构的安全，设计工程人员需要考虑边坡对地基承载力的影响问题。虽然工程中该形式的地基不断增多，但地基承载力设计方法还相对滞后，规范上也并未明确规定此类地基的具体计算方法。目前，针对临坡地基的极限承载力分析，主要还是将此类问题等效为水平地基，根据Terzaghi[3]提出的叠加法来计算，然后在此基础上乘以一定的折减系数，虽然此类方法简单方便，但由于其基本假设就是将地基考虑为对称破坏模式，故无法体现临坡地基中边坡的影响。

本文基于Prandtl无重介质地基的极限承载力理论，通过上限分析法，采用理论推导的手段，推导了临坡地基的极限承载力，探讨了边坡坡角对临坡地基的极限承载力的衰减规律。

2 临坡地基承载力的上限分析

2.1 基本原理

与极限平衡法和滑移线法不同，极限分析法[4-7]以一种理想的方法考虑了土体的应力应变关系，即流动法则，从塑性区能量耗散的角度考虑问题，进而建立了极限定理(上下限)，从而完美地简化了问题的复杂性，不必一步一步进行弹塑性分析，而只需要按照一定规则即可得到相应的材料极限荷载的上限和下限值。

其中上限定理只考虑速度模式和能量耗散，而下限定理只考虑平衡及屈服，相比较而言，上限定理对于求解更为适用，因此本文采用上限定理对临坡地基的极限承载力进行探讨。

2.2 简化模型

临坡地基模型如图1所示，均质土坡顶部存在一局部荷载作用Pu，β为边坡坡角。根据Prandtl理论，可知该模型可分为3个不同分区，I区—主动区(OAB)，II—过渡区(OBC)，III—被动区(OCD)，且假定 I区和 III区为刚性区，也就是说该区域在滑动过程中不产生塑性变形。OBC块体为过渡区，该区域发生径向剪切变形，即在滑动过程中产生了塑性变形，滑面BC边界为对数螺线。

图1 计算简图

根据Prandtl机构，假设楔形体OAB块体和三角形OCD块体分别以速度v0和v1进行刚体运动，只在其边界面AB和CD上发生塑性变形。根据屈服条件和相关联流动法则，块体OAB和OCD的速度v0和v1和与滑动面ABCD的夹角均为φ。可知临坡地基模型中的几何关系如下：

(1)I区主动区楔形体与坡顶平面的夹角。

(2)III区被动区等腰三角形与坡面的夹角。

(3)对数螺旋线方程。

式中，r0为起始半径，θ为对数螺旋线半径与起始半径AB的夹角，φ为土体的内摩擦角。

(4)对数螺旋线终点半径OC与起始半径AB的夹角μ。

过渡剪切区OBC绕着O点进行转动，并产生塑性变形，其对数螺旋线半径由公式(3)确定，滑面BC上的运动速度v为：

2.3 外力做功

基于Prandtl机构，该临坡地基模型中的外力则只有边坡顶部的条形基础荷载作用，基础荷载Pu(见图1)对临坡地基滑动区域所作的外力功率为：

2.3 内能耗散

在地基破坏时，在滑动间断面上会发生内能耗散，此外过渡剪切区也会发生内能耗散，允许塑性变形。其中AB间断面上的内能耗散为：

CD间断面上的内能耗散为：

对于对数螺旋剪切过渡区的内能耗散，包括对数螺旋区OBC和间断面BC，如图2所示。

图2 对数螺旋剪切过渡区能量耗散

其中，BC间断面上的内能耗散为：

其中：μ为OBC的顶角，可由公式(4)确定；lBC为对数螺旋区上BC间断面的弧长；Δv为OBC半径r中dr段上下两点速度之差。根据公式(9)和(10)发现，OBC和BC的内能耗散功率相等。

2.4 极限承载力表达式

综上可知，内能耗散的总功率为：

根据能量守恒，边坡处于失稳的极限状态时，外力功率应等于内能耗散的总功率，即

化简可得到该临坡地基的极限承载力表达式：

公式(13)对应的是土体具有粘聚力和内摩擦角的情况，对于纯黏土，即内摩擦角φ=0°时，过渡区OBC的BC间断面则变成了一个以坡顶O点为圆心、r为半径的圆，那么此时边坡的极限承载力的解析表达式就可写为：

3 敏感性分析

根据上述推导的公式，以图1所示的临坡地基为例，对不同c、β、φ条件下的临坡地基承载力进行敏感性分析。

3.1 粘聚力对极限承载力的影响

由公式(13)可知，在坡角β与内摩擦角φ一定时，极限承载力Pu成呈线性增大关系，如图3所示。

图3 粘聚力对极限承载力的影响

3.2 内摩擦角对极限承载力的影响

由公式(13)可知，在粘聚力c与内摩擦角φ一定时，极限承载力Pu呈一个复杂的函数关系 (图4)。取c为20kPa、坡角为20°，发现极限承载力随内摩擦角的增大呈对数增大趋势，即增长速率逐渐增大，曲线可以采用简化的指数函数进行拟合：

图4 内摩擦角对极限承载力的影响

3.3 边坡坡角对极限承载力的衰减效应承台内力分析

根据公式(13)，取不同坡角β和不同内摩擦角φ，计算得到对应的极限承载力，见图5。从图5可知，边坡坡角越大，极限承载力越小。而且，内摩擦角越大，极限承载力越大，但随着坡角逐渐增大，内摩擦角对极限承载力的贡献逐渐减小。

图5 极限承载力与坡角的关系曲线

为体现边坡对极限承载力的衰减效应，通过数据处理，得到不同坡角下的极限承载力衰减率，见图6。从图6可发现，极限承载力衰减率随边坡坡角的增大而增大。

当内摩擦角φ=0°时，根据公式(14)可得，极限承载力衰减率随坡角的增大呈线性增大的趋势。即对于纯黏土地基，边坡越陡，极限承载力越低，当为临坡地基发展为垂直边坡时，其极限承载力是水平地基的40%左右，衰减明显。

随着内摩擦角φ逐渐增大，曲线逐渐变凸，即随着坡角的增加，极限承载力衰减程度变大，但增幅逐渐降低，线性关系逐渐变为对数关系。

图6 极限承载力衰减率与坡角的关系曲线

综上可说明，边坡的存在使得临坡地基相对于水平地基的极限承载力产生了衰减效应，以垂直边坡为例，其衰减率可达到60%以上，对于内摩擦角越大的临坡地基，坡角的衰减效应更为显著。因此在具体工程设计中，对于临坡地基，应当考虑边坡对地基极限承载力的衰减效应，而不是简单地乘以一个衰减系数而已。

4 结语

本文以Prandtl无重介质地基的极限承载力理论为基础，通过理论推导计算，得到了粘聚力、内摩擦角、坡角对极限承载力的影响，并着重分析了坡角对极限承载力衰减效应的影响。结论如下：

(1)和水平地基一样，临坡地基极限承载力随粘聚力增大呈线性增大趋势。

(2)随着内摩擦角的增大，临坡地基的极限承载力逐渐增大，呈指数曲线关系。随着坡角逐渐增大，内摩擦角对极限承载力的贡献逐渐减小。

(3)随着边坡坡角的增大，临坡地基的极限承载力衰减率逐渐增大。且随着内摩擦角φ逐渐增大，极限承载力衰减程度也逐渐增大，临坡地基极限承载力衰减率与坡角的关系曲线逐渐变凸，从直线变为曲线。在实际工程问题中，应当充分考虑边坡对临坡地基的衰减效应，而不是简单乘上一个固定的衰减系数。

[1]郑颖人，陈祖煜，王恭先，等.边坡与滑坡工程治理[M].北京：人民交通出版社，2007：1-28.

[2]NI Pengpeng，WANG Shuhogn，ZHANG Simiao，et al.Response of heterogeneous slopes to increased surcharge load[J].Computers&Geotechnics，2016，78：99-109.

[3]TERZAGHI K.Theoretical soil mechanics[M].New York：John Wiley and Sons.1943：5-96.

[4]胡卫东，曹文贵，袁青松.基于非对称双侧破坏模式的临坡地基承载力上限分析[J].岩土力学，2016，37(10)：2787-2794.

[5]张学言.岩土塑性力学[M].北京：人民交通出版社，1993.

[6]Chen W F.Limit analysis in soil mechanics[M].Amsterdam：Elsevier Science，1991.

[7]龚晓南.土塑性力学[M].杭州：浙江大学出版社，1997.