滚动轴承支撑下齿轮耦合转子横向振动建模及非线性动力学特性

李同杰，靳广虎，鲍和云，朱如鹏，安鲁陵



滚动轴承支撑下齿轮耦合转子横向振动建模及非线性动力学特性

李同杰1, 2，靳广虎1，鲍和云1，朱如鹏1，安鲁陵1

(1. 南京航空航天大学机电工程学院，江苏南京，210016；2. 安徽科技学院机械工程学院，安徽凤阳，233100)

在综合考虑滚动轴承游隙、齿轮副齿侧间隙以及时变啮合刚度等非线性因素的基础上，建立滚动轴承支撑下的齿轮耦合转子系统的横向振动非线性动力学模型，并通过数值仿真的方法对系统运动状态的分岔规律以及动力学频响特性进行研究。研究结果发现：在非线性轴承力的激励下，转速、轴承游隙以及轴承阻尼的变化，都会导致系统通过不同的分岔途径进入到混沌运动状态；质量偏心以及齿侧间隙的增大都会使系统响应由简单的轴承力激振频率及其倍数频逐渐复杂化为离心力激振频率、轴承力激振频率、以及二者的各种线性组合频率共存的情况，齿轮啮频成分也出现在系统响应中，但始终处于弱势地位。

齿轮耦合转子；滚轴轴承；非线性振动模型；分岔；频响特性

转子−滚动轴承−齿轮系统广泛应用于各种机器的变速箱、主减速器等场合，是机械传动系中最为常见的一种组合。由于轴承游隙、齿轮副齿侧间隙以及时变啮合刚度等固有非线性因素的存在，转子−滚动轴承−齿轮系统本质上是一个非光滑强非线性动力系统，在某些设计参数组合或运转工况下可能会呈现异常振动，严重影响着传动系统的工作可靠性甚至整个机器的运行品质。所以，对滚动轴承支撑下齿轮耦合转子系统开展非线性动力学特性研究就具有重要的工程实际意义。实际上，国内外众多专家学者早已注意到了转子−滚动轴承耦合系统的非线性动力学行为，并开展了一系列卓有成效的研究工作。TIWQRI等[1]在其研究中较早提出了滚动轴承非线性支撑力的解析表达式。袁茹等[2]建立了滚动轴承支承的水平刚性转子系统的非线性动力学模型, 用数值积分方法研究了系统响应随转子转速的变化趋势。CHAVEZ等[3]在滚动轴承−转子模型中，将转子简化为刚体，将滚动轴承视为弹簧和阻尼器的组合，通过数值方法研究了转子系统的动力学特性。CONG等[4]基于一个两自由度的滚动轴承−转子系统，研究了滚动轴承的袁故障响应特征。GAO等[5]研究了主轴转子−轴承系统运动状态的分岔特性。GAO等[6]研究了滚动轴承齿轮转子与滑动轴承齿轮转子共存机械系统的分岔与混沌的道路。曹宏瑞等[7]建立了高速滚动轴承的力学模型，计算了轴承的时变刚度，并通过试验验证了模型仿真系统动态响应的精度。此外，针对齿轮系统的非线性动力学研究文献也十分丰富[8−24]。本文作者将在充分考虑滚动轴承游隙、齿轮副齿侧间隙以及时变啮合刚度等非线性因素情况下，尝试建立滚动轴承支撑下的齿轮耦合转子系统的横向振动非线性动力学模型，并通过数值手段对系统的非线性动力学特性展开初步 研究。

1 力学模型及振动微分方程

根据抓主略次以及由浅入深的建模原则，本文忽略转子的扭转振动位移，建立的滚动轴承−齿轮−转子系统的横向振动非线性动力学模型如图1~4所示。

图1所示为系统整体动力学模型图。主动齿轮1安装在刚性轴上(1表示主动轮齿数)，转轴两端刚支；从动齿轮2亦安装在刚性轴上(2表示从动轮齿数)，轴两端装配在滚动轴承上，两轴承相对于从动轮对称分布。假设两轴颈运动规律也完全对称，从而可将从动转子视为Jeffcott转子。滚动轴承作用在转子上的弹性力沿固定坐标和方向的分量分别为为F和F，阻尼力沿固定坐标和方向的分量分别为为cx和cy，转子的总质量为。

图2所示为转子−滚动轴承结构示意图。假设轴承滚动体个数为，转子角速度为；轴承外圈半径为，固定于基础之上；轴承内圈半径为，与转轴过盈联结，即轴承内圈与转子同转速；由运动学定理易知滚动体公转角速度为0=/(+)，那么轴承第个滚动体在时刻所处位置可用角位移θ表示，即

图1 系统整体动力学模型图

图2 转子−滚动轴承结构示意图

式中：1为第1个滚动体的初相位。按照文献[1]和[2]结论，滚动轴承作用在转子上的非线性弹性力kx和ky可以表述如下：

滚动轴承作用在转子上的阻尼力cx和cy采用工程中常用的速度线性函数表达 ，即

图3所示为齿轮啮合力示意图。由于主动轮被假设为刚性支撑下的刚性转子，故而没有横向振动位移；()表示齿轮副的时变啮合刚度，根据参与啮合的轮齿对数的周期性变化而呈现矩形波变化；为齿轮副半齿侧间隙，b1和b2分别为主、从动轮的基圆半径；为啮合角，标准安装下即为齿轮压力角；由于齿侧间隙的存在，使得齿轮副啮合状态存在3种可能，即正常啮合、空啮合以及齿背啮合，由此引发齿轮啮合力的数学表达为齿轮副啮合点相对位移的分段 函数[8]：

由于不考虑转子的扭转振动以及主动轮的横向振动，齿轮副啮合点的相对位移全部由转子横向位移在啮合线上的贡献量产生，即

图3 齿轮啮合力示意图

呈周期性矩形波变化的时变啮合刚度()可以傅里叶展开，表示为以啮合角频率2=2为基频的简谐函数的叠加，即

以轴承游隙r0为量纲一的标称尺度，引入量纲一的位移X和Y，满足，；令，那么速度dX/dτ和dY/dτ满足，，加速度和满足，。把以上关系代入方程(7)，并在方程两边同除，可以得到系统量纲一化后的微分方程：

方程(8)中，齿轮啮合力是间隙分段函数，在每一段内主要按啮频2周期性变化；惯性力按转子角速度周期性变化；滚动轴承弹性支撑力是间隙分段函数，在每一段内按轴承非线性弹性力的角频率1周期性变化。所以，转子−滚动轴承−齿轮系统是一个多频激励下的非光滑非线性动力系统。

仿真案例中假定齿轮耦合转子由某型号深沟球轴承支撑，其参数为滚动体个数=9，轴承内圈半径为=14.55 mm，轴承外圈半径为=19.98 mm，滚动轴承的载荷变形系数b=7.055 GN/m1.5，轴承游隙取为0=10 μm，轴承阻尼=300 N∙s/m；按照装配原理，齿轮设计参数取为模数=1 mm，主动轮齿数1=29，从动轮齿数2=29，压力角=20°，半齿侧间隙＝1 μm，转子总质量=2 kg。

2 非线性轴承力激励下转子运动状态的分岔规律

为了研究滚动轴承的非线性支撑力对转子运动状态分岔规律的影响，令动力系统(8)中的偏心距= 0 μm，并以齿轮副的平均啮合刚度代替系统的时变啮合刚度，那么，系统就变为一个以1为角频率的单频激励系统，所表现出来的分岔规律可以全部归因于非线性轴承力的激励。

2.1 运动状态随转速的分岔规律

在保持其他参数不变的情况下，令转速在2 000~ 15 000 r/min之间变化，以轴承力周期1=2π/1为周期截取不同转速下的Poincare截面图，最终得到的转速全局分岔如图5所示。

系统在不同转速下的Poincare截面图如图6所示。从图6可以看到：系统在4 300~4 600 r/min，6 240~ 7 200 r/min和13 900~15 000 r/min 3个转速区间呈献复杂运动状态(可能是长周期运动、拟周期运动或混沌状态之一)，其他转速区间系统呈献稳定的周期一运动，周期即为非线性轴承力的激振周期1。

为了确定系统从周期一运动进入到转速区间 4 300~4 600 r/min内的复杂运动形态及其分岔途径，以下截取了该复杂运动区间附近的几个转速的Poincare截面图，如图6(a)~6(e)所示。从图6可以看到：当转速的增加，系统运动状态由稳定的周期1(图6(a))经内依马克−沙克分岔进入拟周期运动(图6(d))，随后拟周期环面破裂进入混沌运动(图6(e))。

图6(f)所示为转速区间6 240~7 200 r/min内复杂运动的Poincare截面图。图6(f)显示系统在该转速区间呈现混沌运动。结合图5显示：随着转速的增加，系统是由稳定的周期1运动突然就变成了该转速区间的混沌，可以明确系统的第2段复杂运动是通过“激变”途径由周期1运动分岔为混沌运动的。

图5 转速全局分岔图

图6(g)~6(j)所示为系统第3段复杂运动区间附近的几个不同转速下的Poincare截面图。显然，随着转速的增加，系统由周期1运动分岔为周期2运动(图6(g))，接着周期2又裂变为周期4运动(图6(h))，进而周期4运动又分岔为周期8运动(图6(i))，最终系统进入混沌运动(图6(j))，以上过程呈现出了典型的倍周期分岔进入混沌的途径。

2.2 运动状态随轴承游隙的分岔规律

保持转速=3 000 r/min，令轴承游隙0在0.1~10 μm之间变化，仍以轴承力周期1=2π/1截取不同游隙下的Poincare图，最终得到的轴承游隙全局分岔图，图7所示为系统随轴承间隙的分岔规律。从小间隙出发，随着间隙的增加，系统的运动状态由稳定的周期一经倍周期分岔途径进入到中等间隙处的混沌运动，再由中等间隙的混沌运动经倍周期倒分岔回归到周期1运动。Poincare截面图8的形态证明了中等间隙处混沌运动的发生。

2.3 运动状态随轴承阻尼系数的分岔规律

保持转速=3 000 r/min，轴承游隙取为0=10 μm，令轴承阻尼系数在150~300 N∙s/m之间变化，仍以轴承力周期1=2π/1截取不同阻尼下的Poincare图，最终得到轴承阻尼全局分岔图。图9所示为系统随轴承阻尼的分岔规律。小阻尼状态下系统运动以混沌状态为主，其间由倍周期倒分岔短暂出现过周期窗口，很快又进入混沌；而在阻尼增加到240 N∙s/m以后的大阻尼区间，系统呈现稳定的周期1运动，说明阻尼对振动的抑制非常明显。图10所示为小阻尼状态下(=189 N∙s/m)的Poincare截面图，其形态证明了混沌运动的发生。

n/(r∙min−1)：(a) 4 250；(b) 4 300；(c) 4 310；(d) 4 320；(e) 4 322；(f) 6 300；(g) 13 600；(h) 15 695；(i) 13 750；(j) 14 000

图7 轴承游隙分岔图

图8 Poincare截面图(r0=5.5 μm)

图9 轴承阻尼分岔图

图10 Poincare截面图(c=189 N∙s/m)

3 多频激励下系统的非线性动力学频响特性

3.1 转子质量偏心对频响特性的影响

令齿侧间隙=1 μm，转速=2 000 r/min，同时考虑转子离心力、非线性轴承力以及齿轮啮合力的影响，在此工况下系统存在3个激励频率，即离心力激励频率f=33.3 Hz，非线性轴承力激励频率1=112.3 Hz，齿轮啮合力激励频率2=765.9 Hz。图11所示为不同质量偏心距下系统响应的频谱。

从图11(a)可以看到：在较小的质量偏心下，系统响应主要表现为轴承力激振频率1及其倍数频；存在齿轮啮合力激振频率2的响应成分，但幅值很小；没有发现离心力激振频率f的响应成分。

随着质量偏心的增大(图11(b))，系统响应中开始出现离心力激振频率f及其倍数频、分数频；齿轮啮合力激振频率2的响应成分依然很弱；轴承力激振频率1及其倍数频的响应仍然占据主导地位；系统响应中开始出现轴承力激振频率1与离心力激振频率f线性叠加成分，运动变得复杂。

当偏心距达到50 μm时(图11(c))，离心力激振响应与轴承力激振响应幅值相当，两频率的各种线性叠加成分进一步强化，响应更加复杂；当偏心距达到 100 μm时(图11(d))，离心力频响已占主导，轴承力频响及其倍数频、分数频响应弱化，整个系统响应反而变简单。齿轮啮频响应在整个过程中始终处于弱势地位。

e/μm：(a) 10；(b) 20；(c) 50；(d) 100

3.2 齿侧间隙对频响特性的影响

令转子偏心矩=10 μm，转速=3 000 r/min，同时考虑转子离心力、非线性轴承力以及齿轮啮合力的影响，在此工况下系统离心力激励频率f=50 Hz，非线性轴承力激励频率1=168 Hz，齿轮啮合力激励频率2=1150 Hz。图12所示为不同齿侧间隙下的系统响应频谱。

从图12可以看到：在齿轮小间隙条件下(图12(a))，系统响应主要表现为轴承力激振频率1及其倍数频，齿轮啮合频率成分响应较弱；随着齿侧间隙的增大(图12(b))，系统响应中开始出现离心力激振频率f，齿轮啮合频率响应成分得到加强；当进一步增大齿侧间隙(图12(c))，离心力激振频率f及其倍数频响应成分增强，而齿轮啮合频率成分响应变弱，系统响应中开始出现轴承力激振频率1与离心力激振频率f的各种线性叠加成分，运动变得复杂。再继续增大齿侧间隙值(图12(d))，系统的频域响应几乎没有什么变化。

4 结论

1) 在综合考虑了滚动轴承游隙、齿轮副齿侧间隙以及时变啮合刚度等非线性因素的基础上，建立了滚动轴承支撑下的齿轮耦合转子系统的横向振动非线性动力学模型，并通过数值仿真的手段对系统的分岔规律以及频响特性进行了研究。

2) 在非线性轴承力的激励下，系统的周期运动状态会在低转速下通过内依马克−沙克分岔进入拟周期，进而拟周期环面破裂进入混沌，在中等转速下，系统会通过激变途径进入混沌，高转速下系统运动会通过倍周期分岔途径进入混沌；随着轴承游隙的增大，系统的运动状态会由小游隙下的周期1运动经倍周期分岔途径进入中等间隙下的混沌运动，再由中等游隙的混沌运动经倍周期倒分岔回归到大游隙下的周期1运动；随着轴承阻尼系数的增大，系统运动状态会由混沌运动通过倍周期倒分岔的途径稳定到周期1运动。

b/μm：(a) 0.01；(b) 0.1；(c) 1；(d) 10

3) 随着转子质量偏心的增大，系统响应会由简单的轴承力激振频率及其倍数频逐渐复杂化为离心力激振频率、轴承力激振频率以及二者的各种线性组合频率共存的情况，并且离心力激振频率成分逐渐占据上风，齿轮啮频成分也出现在系统的响应中，但始终处于弱势地位。

4) 随着齿侧间隙值的增大，系统响应会由简单的轴承力激振频率及其倍数频逐渐复杂化为离心力激振频率、轴承力激振频率以及二者的各种线性组合频率共存的情况，但是无论间隙如何增大，轴承力激振频率成分始终在响应中占据主导；存在1个齿侧间隙中间阀值使得系统响应中的齿轮啮频成分出现极值，从此阀值出发，增大或减小间隙值，响应中的齿轮啮频成分都将减小。

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(编辑 陈爱华)

Transverse vibration model and nonlinear dynamics of gear rotor-rolling bearing system

LI Tongjie1, 2, JIN Gunaghu1, BAO Heyun1, ZHU Rupeng1, AN Luling

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;2. College of Mechanical Engineering, Anhui Science & Technology University, Fengyang 233100, China)

A nonlinear transverse vibration model of a gear rotor-rolling bearing system was built taking the nonlinear factors, such as bearing clearance, gear backlash and time-varying meshing stiffness into account. By using the method of numerical simulation, the bifurcation laws and the frequency response characteristics of the system were studied primarily. The results reveal that the changes of rotor speed, rolling bearing clearance and bearing damping may lead to chaos through different ways; the increase of rotor eccentricity and the gear backlash will make the system response from simple bearing force excitation frequency and its multiple frequency gradually changes into a complicated one that includes various linear combinations of centrifugal force frequency and the bearing frequency. The gear meshing frequency is one of the system respond factors, but always plays a small role no matter whether the rotor eccentricity or the gear backlash is big or not.

gear rotor system; rolling bearing; nonlinear dynamic model; bifurcation; frequency response

10.11817/j.issn.1672−7207.2017.08.011

O322；TH113

A

1672−7207(2017)08−2044−09

2016−09−06；

2016−12−25

国家自然科学基金资助项目(51475226，51305196)；安徽省教育厅自然科学重点资助项目(KJ2015A179)；安徽省科技攻关项目(1501031095，1604a0902134)；安徽科技学院自然科学项目(ZRC2016488)(Projects (51475226, 51305196) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (KJ2015A179) supported by the Natural Science Key Project of Anhui Provincial Education Department; Projects (1501031095, 1604a0902134) supported by the Programs for Science and Technology Development of Anhui Province; Project (ZRC2016488) supported by the Natural Science Project of Anhui Anhui Science and Technology University)

李同杰，博士，副教授，从事齿轮系转子统非线性动力学特性研究；E-mail：litongjie2000@163.com