N—L公式的推广与应用

刘旭堂

摘要：众所周知，关注微积分学的人都了解，微积分是自然科学史上最著名的科学成果之一，是千百年来人类创造性思维的结晶。微积分的创立，不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了诸如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等一些重要的数学分支。

关键词：牛顿-莱布尼茨公式；推广；应用

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中一个极其重要的基本公式。利用它可将定积分的计算问题转化为原函数的计算问题，但由于该公式的条件比较强，影响了它的应用与推广。

一、牛顿—莱布尼茨公式的含义及思想方法

1.含义

牛顿：（1642-1727）英国著名科学家、物理学家、数学家。他1671年写了一本书《流数法和无穷级数》，它在这本书里明确指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，这样就在某种意义上说否定了先前自己认为的变量是无穷小元素的统一静止集合。在这一文献中，他把连续变量叫做流动量，把这些流动量组合成的导数叫做流数。牛顿在这一流数术法则中所提出的中心问题是：已知连续不静止的路径，求给定时刻的速度；已知运动的速度试求给定时间内经过的路程。

莱布尼茨：（1646一一1716）是德国著名科学家、数学家。1684年，他发表题目为《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》的一本书，这是世界上公认的最早的微积分文献。就是这样一篇说理也似乎有点含糊不清的文章，却在历史上产生了划时代的意义。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨选用开创的。

2.思想方法

极限的思想方法，是微积分学的根本方法。牛顿—莱布尼茨公式作为微积分的重要公式，它集中体现了极限的思想方法，这个公式的证明方法常见的有两种：一种方法是莱布尼茨的方法，即先引人积分上限函数，然后证明出积分上限函数的导数为被积函数本身，再根据一个函数的任意两个原函数之差为某一常数，这一性质推出牛顿—莱布尼茨公式。另一种方法是从定积分的定义式出发，利用拉格朗日中值定理推得牛顿—莱布尼茨公式。本文给出第三种证明方法，而这种方法更能充分体现出这一公式中所蕴含的极限的思想方法。

二、牛顿一莱布尼茨公式的应用

传统的高等数学教学，大多采用直线型程序进行的：从极限到连续性、到导数（微分）、再到积分.直线型路线走完了，课程也就结束了.其实，直线型路线走完了，这仅是为学好这门课程奠定了一个基础而已.在此之后，尚需人们从各种角度来重新观察所学到的知识整体，特别是应进行以新理旧、以后推前的逆向思维工作.譬如，能否用积分来处理微分的结论、连续函数的性质？通过反复联系，人们才会对知识的整体性有个较深入的体验，对所学知识有深入的理解，甚至会产生一些新结论，下面以Taylor中值定理的积分证明为例：

Taylor：中值定理是说，若f（x）在（c，d）中有n十1阶连续导数，

对此定理，大多都是通过构造辅助函数借助Cauchy中值定理或Rolle定理来证明的.也可用积分手段来证明，则较简明.Taylor中值定理等价于

而此式可经由牛顿一莱布尼茨公式变形，然后直接计算得到（差的积分化+分部积分法）：

三、牛顿—莱布尼茨公式的推广

在一元函数积分中有一重要公式，牛顿一莱布尼茲公式，称为微积分基本公式，揭示了函数的定积分与原函数（不定积分）之间内在联系，把定积分的计算问题转化为计算不定积分（求原函数）的问题.但是，对于多元函数的积分则只能将重积分化为累次积分，进而化为一元积分的形式求值.本文给出了二元重积分及曲线积分的牛顿—莱布尼兹公式，推广了微积分基本公式.

1.二重积分

设函数f（x，y）在矩形区域[a，b，c，d]上连续.以（x，y）表示区域内任意点，令

设函数在矩形区域 上连续，如果存在一个二元函数，

则二重积分

曲线积分形式设D为单连通区域，式的联系与在区域D上有连续的一阶偏导数，若存在一个二元函数，使得在区域D中任意取两个点A，B，则对连接A，B的任意一条光滑曲线L，都有

二、牛顿—莱布尼茨公式的作用

牛顿—莱布尼茨公式的产生，在当时使人们找到了解决曲线的长，曲线围成的面积和曲线围成的体积的一般方法，而后随着积分学的不断发展、完善以及它与其他科学之间日益密切的联系，这个重要公式的应用范围也在不断扩大，这个公式本身解决的定积分的计算内容也逐渐增多。从牛顿—莱布尼茨公式可以看出，只要能求出被积函数的原函数，不管原函数是初等函数还是用级数的形式给出，总可以求出这个积分的值或者满足一定精确度的近似值。当原函数是由级数的形式给出是，可用逐项积分的方法求的原函数，可利用牛顿—莱布尼茨公式求得积分的近似值。详见级数有关内容。endprint