中美澳初中数学统计课程难度的比较研究

王建波



中美澳初中数学统计课程难度的比较研究

王建波

（北京师范大学出版集团，北京 100875）

从中国、美国、澳大利亚3个国家分别选择两套教育行政部门审定通过或广泛使用的初中数学教材，以教材中的统计部分为研究对象，从内容广度、内容深度、习题难度等方面进行比较研究，得出中美澳6个版本教材统计部分的课程难度：美国Mathematics教材和Connected教材课程难度值排名前两位，澳大利亚Heinemann教材和ICE-EM教材其次，中国PEP教材和BNUP教材排名最后．研究的结果为中国初中数学统计部分课程内容的改革以及教材统计内容的编写提供思考和启示．

初中数学教材；统计；课程难度；比较研究

1 研究背景

统计是初中数学课程的重要内容，统计的基础知识已经成为每一个公民都应具备的基本素质，正如英国学者威尔斯所说：“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将成为效率公民的必备能力．”统计内容在数学课程中也得到越来越高的重视，很多国家都将统计内容列为初中数学课程的重要组成部分[1]．已有对统计内容的研究主要集中在统计自身的内容设置、呈现方式、编写体例及习题设置等方面，缺乏对统计内容的定量分析，研究流程难以标准化且研究结果难以客观．

另外，鉴于中国中小学生学业负担过重，《基础教育课程改革纲要（试行）》将“改变课程内容‘难、繁、偏、旧’”作为基础教育课程改革的具体目标之一，《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》明确要求：“调整教材内容，科学设计课程难度”．在新课程的实践探索中，客观把握课程难度问题是一项富有价值的课题．

因此，研究者以初中数学统计课程难度的量化研究作为切入口，综合考虑内容广度、内容深度、习题难度等方面，比较研究中国、美国和澳大利亚3个国家6个版本初中数学教材统计部分的课程难度．研究结论将帮助广大教育工作者客观了解中国统计课程的难度水平，吸收借鉴国外统计课程的相关经验做法，为中国初中数学统计部分课程内容的改革以及教材统计内容的编写提供思考和启示．

2 研究设计

2.1 教材版本的选取

选择中美澳3个国家每个国家各两套教育行政部门审定通过或使用较为广泛的初中数学教材，情况如下．

中国：按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写审定通过的、北京师范大学出版社2012年出版的初中数学教材，以下简称BNUP教材；按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写审定通过的、人民教育出版社2012年出版的初中数学教材，以下简称PEP教材．两套教材均有6册，每学年2册，供7、8、9年级使用．

美国：美国出版中小学教材的公司有很多，Pearson Education和Holt McDougal均是其中比较有影响的出版集团，它们出版的教材具有较强的代表性．选择Pearson出版集团2009年出版的（以下简称Connected教材）和Holt McDougal 2010年出版的（以下简称Mathematics教材）．两套教材均有3册，供6、7、8年级使用．

澳大利亚：维多利亚州是澳大利亚教育最为发达的一个州，在维多利亚州广泛使用的Pearson出版集团2008年出版的教材，具有一定的代表性，共4册，供7、8、9、10年级使用，以下简称Heinemann教材；ICE-EM与剑桥大学出版社2011年合作出版的澳大利亚课程系列版本教材，按照《澳大利亚数学课程标准》编写面向澳大利亚全国，共8册，供7、8、9、10年级使用，以下简称ICE-EM教材．

考虑到3个国家的初中学制间存在差异，中国初中为7~9年级，澳大利亚初中为7~10年级．而美国的初中阶段是6~8年级，分别对应中国和澳大利亚的7~9年级．因此，选定中国、澳大利亚教材的7~9年级和美国教材的6~8年级进行比较研究．

2.2 研究方法

采取定量刻画与定性描述相结合的方法．定量刻画包括综合内容广度、内容深度、习题难度3个维度指标建立课程难度模型，定性描述包括对3个国家教材内容设置等方面的比较研究．

2.3 研究工具

综合考虑了史宁中等关于内容广度、深度的量化方法[2]，以及鲍建生的数学习题难度的量化[3]，构建了以内容广度、内容深度和习题难度3个维度的加权平均进行刻画的课程难度模型：

其中表示课程难度，表示内容广度，表示内容深度，表示习题难度，、、分别表示它们对应的权重．权重的确定通过问卷调查法获得，在问卷调查的基础上，最后确定、、的值分别为0.35、0.375、0.275．

2.3.1 内容广度

内容广度是指教材所涉及的范围和领域的广泛程度，考虑到研究对象是3个国家初中数学教材统计内容，内容广度用统计内容所包括的知识点个数来量化．

2.3.2 内容深度

内容深度主要根据知识点所含概念的呈现方式进行刻画，概念的呈现方式分为直观描述、归纳、演绎3种类型，分别赋值1、2、3．

（1）直观描述：仅仅通过一个案例的呈现描述相关概念．

（2）归纳：至少通过两个或两个以上案例进行归纳，获得一般结果．

（3）演绎：从普遍性的数学理论知识出发，去认识个别的、特殊的数学概念的一种逻辑推理方法．

2.3.3 习题难度

习题难度可以刻画习题系统的质量特征．对于习题难度的刻画视角比较多，譬如习题要求水平、知识点个数、习题背景、习题解答步骤或者推理步骤、结论的封闭与开放、习题解答时间、条件的隐蔽性等．在专家访谈与教师问卷调查基础上，确定习题难度（）从要求水平（）、知识点个数（）、习题背景（）3个维度进行刻画，其计算公式：

（1）要求水平．

习题要求水平主要分为四级，分别是模仿、理解、运用、探究，分别赋值1、2、3、4．

模仿：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象；直接模拟教材的例题来进行解答．

理解：在模拟例题的基础上，能阐述此对象与相关对象之间的区别和联系．

运用：在综合使用知识的基础上，应用于新的情境中解决问题．

探究：需要复杂的、非算法化的思维，没有可供借鉴的、固定的方法．

具体计算办法如下：

其中（或、或、或）为“模仿（或理解、或运用、或探究）”的习题数量．

（2）知识点个数．

根据习题所涉及知识点的个数来进行计算，超过4个以4个计．具体计算办法如下：

其中（或、或、或）为“含1个（或2个、或3个、或4个及以上）知识点”的习题数量．

（3）习题背景．

习题背景主要分为无背景、个人生活背景、公共常识背景、科学背景四级，分别赋值1、2、3、4（纯粹的数学问题算作为无背景）．具体计算办法如下：

其中（或、或、或）为“无背景（或个人生活背景、或公共常识背景、或科学背景）”的习题数量．

3 研究结果与分析

3.1 内容设置

中美澳3个国家6个版本初中数学教材统计部分内容的设置各不相同（因篇幅所限，这里不呈现各版本教材具体内容的目录）．通过研究可以得出：BNUP教材和PEP教材统计内容均按照“数据收集、整理与分析”的过程展开，BNUP教材共有两章、8节内容、4个综合与实践活动；PEP教材共有两章、6节内容（含两节“课题学习”）、两个数学活动；Connected教材将统计内容的学习蕴含在探究活动之中，共有3章、11节（探究）、两个单元课题；Mathematics教材以“数据的收集、展示、分析和描述”螺旋上升展开统计学习的主题，共有3章、30节内容、5个动手实验室和3个联系现实；Heinemann教材通过直观描述、类比归纳等方式呈现重要的统计知识和概念，并通过大量的例题加深对相应内容的理解，同时给出解决一般问题的规范步骤和方法，共有3章、18节内容，以及4个探究和3个任务设计；ICE-EM教材则将统计的知识与方法融入到统计概念的学习过程之中，共有3章、12节内容（含一节“统计探究过程”），以及13个活动．

3.2 内容广度

内容广度可以通过统计内容所包括的知识点个数来计算，考虑到不同知识点之间的可比性，把部分知识点及其所含的概念算作一个知识点（如样本、总体、个体、样本容量）．表1列举了3个国家初中数学教材统计内容知识点的情况（“√”表明该版本教材包括对应的知识点），并汇总得到了各版本教材统计内容广度值．

表1 3个国家6个版本教材统计内容广度

从表1不难看出：美国的Mathematics教材和Connected教材分别以32个知识点和27个知识点排名6个版本教材的前两位，在3个国家中位居首位；澳大利亚的Heinemann教材和ICE-EM教材分别以26个知识点和23个知识点排名6个版本教材的第三位和第四位，在3个国家中居中；中国的PEP教材和BNUP教材分别以17个知识点和16个知识点排名6个版本教材的第五位和第六位，在3个国家中位列最后．

3.3 内容深度

根据前文中的公式，通过计算每一个知识点的内容深度，可以求出3个国家统计内容的内容深度值，结果如表2．（具体知识点及知识点所含概念的呈现方式略）

表2 3个国家6个版本教材统计内容深度

由表2及相关的分析可以得到：美国的Mathematics教材和Connected教材内容深度分别以1.968 8和1.728 4排名6个版本教材的前两位，知识的呈现方式以归纳为主，其中，Mathematics教材的32个知识点中有31个知识点都是通过两个或两个以上例题进行讲解与归纳，从而呈现相应的统计内容；澳大利亚ICE-EM教材以1.304 3排名第三，中国的PEP教材和BNUP教材分别以1.235 3和1.187 5排名第四位和第五位，这3个版本教材内容深度值较为接近；澳大利亚Heinemann教材则以1.076 9排名位列最后，知识的呈现方式以直观描述为主，26个知识点中有24个都是通过概念的描述或一个案例进行呈现的．

3.4 习题难度

3个国家初中数学教材统计部分习题在要求水平、知识点个数、习题背景3个维度的分维度计算结果如表3．

表3 3个国家6个版本教材统计部分习题难度分维度统计

3.5 课程难度

将上述内容广度、内容深度和习题难度几个维度计算所得的结果进行汇总，结果如表4．

表4 3个国家6个版本教材统计课程难度分维度统计

考虑到内容广度、内容深度、习题难度3个维度计量单位不一致，且课程难度模型中考虑了几个维度分别的权重，因此需要对表4中的数据进行标准化，将其转化成0~1之间的数，选用内容广度标准值、内容深度标准值、习题难度标准值来刻画．具体标准化的方法为：取6个版本内容广度（内容深度、习题难度）的最大值，然后用所有版本的内容广度（内容深度、习题难度）值分别除以最大值，其结果作为该国家的内容广度标准值（内容深度标准值、习题难度标准值）．标准化之后的结果如表5．

表5 3个国家6个版本教材统计课程难度分维度标准值统计

用内容广度标准值、内容深度标准值、习题难度标准值分别替代公式中的、、，可以得到6个版本初中数学教材统计内容的课程难度值分别为0.631 3、0.673 5、0.899 5、0.969 4、0.751 7、0.719 0．汇总结果及排名情况见表6．

表6 3个国家6个版本教材统计课程难度值及排名

从表6可以看出：美国教材统计部分课程难度在3个国家中排名最高，澳大利亚其次，中国则排名最低．具体情况为：美国的Mathematics教材课程难度以0.969 4排名最高，其统计内容呈现出典型的“广而深”的特点，Connected教材以0.899 5排名第二；澳大利亚的Heinemann教材课程难度以0.751 7排名第三，ICE-EM教材以0.719 0排名第四；中国的PEP教材课程难度以0.673 5排名第五，BNUP教材以0.631 3排名最后，BNUP教材统计内容呈现出典型的“窄而浅”的特点．

4 研究启示及建议

（1）客观了解中国统计课程的难度水平，为课程标准的完善与教材的修订提供依据．

中国中小学生课业负担较重，这是多年来不争的一个事实，也是长期以来困扰中国基础教育的顽疾．国家教育部门决定，在现行中小学教材的基础上，削减课程内容，降低课程深度，从而达到降低课程难度的目的，但收效并不理想，其主要原因是人们对“课程难度”和导致中小学生负担过重的客观原因缺乏真正的了解．

通过对3个国家6个版本初中数学教材统计部分课程难度的比较研究，可以得到量化的难度值，也能客观了解了中国统计课程的难度水平．尽管量化的结果表明，中国的PEP教材和BNUP教材的难度水平在所有的6个版本中排名最后两位，但这并不意味着学生的学习负担就真的减少了．事实上，即便客观的内容难度“不难”，但由于考试指挥棒等因素的影响，在课程具体实施的过程中，部分内容被人为地加大了课程难度，也容易导致学生学业负担过重．如，把课程标准和教材中根本不要求的内容也要求学生掌握，将教材中某些只需“了解”的内容要求学生反复训练并达到所谓的“熟练程度”，这样势必人为扩大教材的内容广度与内容深度，从而加大了课程难度．由此可见，在课程具体实施的过程中，仅仅通过削减学科的课程内容来达到“减负”的办法，很难从根本上达到“减负”的效果．

3个国家6个版本初中数学教材统计部分课程难度的量化一定程度上揭示了不同难度水平的差异．虽然得到的这些量化结果只是说明一个难度的相对水平，无法从中确定统计课程难度的合理性标准，但仍然可以通过量化比较的结果为课程标准的完善与教材的修订提供依据．

（2）适当拓展知识点、突出统计的核心概念，优化知识的呈现方式．

通过前面比较研究的结果与分析，可以发现：中国的PEP教材和BNUP教材统计内容广度分别位列6个版本教材的最后两位，最高的Mathematics教材是BNUP教材内容广度的两倍，可见知识点数量之间的差异非常显著；在内容深度方面，PEP教材和BNUP教材则分别排名第四位和第五位．

进一步研究量化结果背后教材的内容，内容广度上的差异主要体现在以下两个方面：一方面，3个国家教材都设置了样本、直方图、中位数、众数和极差等内容，而美国和澳大利亚教材出现较多的茎叶图（背靠背茎叶图）、盒式图、点图（线图）、散点图等统计图内容，以及异常值、四分位数极差等概念，中国的教材均未见涉及；另一方面，美国和澳大利亚均关注统计中的核心概念，如美国《共同核心数学课程标准》着重强调“突出重点（focused）”和“注重连贯（coherent）”两个核心思想[4]，Connected教材中将“分布”作为重点内容反复突出，又如在以信息和技术为基础的现代社会里，人们身边充满着大量的数据[5]，澳大利亚两个版本教材都将“数据”作为重要概念多次出现，但“分布”和“数据”这两个核心概念在中国两个版本的教材中均没能给予必要的重视．而中国教材的内容深度值在6个版本教材中排名比较靠后，原因主要是教材呈现的概念和问题大都比较简单，知识点的呈现以直观描述为主且形式相对单一，对学生的挑战性不够，缺乏一些贴近实际又能引发学生进行思考与实践的内容，难以激发学生的学习兴趣[6]．

因此，建议中国的初中数学课程标准与教材能适当拓展相关知识点，突出统计的核心概念，让学生有机会了解更多重要的统计知识和方法．同时，优化教材统计知识的呈现方式，无论是直观描述、还是归纳，均设计一些贴近学生生活实际或与其它学科相联系的栏目和内容，通过直观感受、思考操作、归纳等多种方式获取新知，激发学生学习统计的兴趣，构建自己对相应知识的理解，并在此过程中不断积累基本活动经验．

（3）注重习题的背景多样化、优化习题要求水平，设计难度水平有差异的教材．

确定课程难度合理性的标准，不能仅仅依据量化结果简单做出判断，需要综合社会、文化、教育的大背景进行客观审视和评价，需要根据量化工具的逐步完善、大规模的国际比较、结合文件课程的定性分析和实施课程难度的实证研究等加以确定．尽管无法给出课程难度合理性的标准，但能够确定的是，需要面向不同学生群体设计难度水平有差异的数学课程，这是时代发展所需，也是人才培养所需[7]．为此，要考虑如何面向不同需求的学生设计难度水平有差异的教材．例如，在习题难度方面，PEP教材和BNUP教材的难度水平在6个版本中排名第三位和第五位，处于中下游水平．进一步研究可以发现，在习题背景与要求水平上，还有不少值得借鉴提高的方面．

在习题背景方面，中国教材过多关注个人生活背景，大部分题目都是围绕学生的校园生活和家庭生活．如BNUP教材个人生活背景题目占比高达78.1%，涉及班级同学的成绩、身高、体重、视力、男女生比例、教室卫生、学生鞋号、家庭支出、家庭用电量、做家务活情况等，背景略显单一．建议适当加强中国教材习题背景的多样化，进一步加强统计与现实生活、数学知识及其他学科之间的联系．如借鉴Mathematics教材，其科学背景题目占比为8.7%，在6个版本中最高，涉及历史学、地球科学、社会研究、生命科学、健康学、运动学、语言艺术等方面丰富的背景，使得教材更加贴近生活实际，让学生感受统计与生活、社会、科技文化等的密切联系，在更广阔的知识面上获得对数学的认识，有助于学生在一个综合知识背景下形成良好的数学素养[8]．

在习题要求水平方面，中国教材没有探究类习题，运用类习题比例也相对较低，而Connected教材和Heinemann教材均比较重视这两种水平的习题，注重培养学生的应用能力和探究能力．如Connected教材的习题分为“应用”、“联系”、“拓广”3种类型[9]，探究类习题占比为6.1%，在6个版本中最高，在分布内容的习题中设置了如下的问题：a分布形状的哪些方面告诉你平均数大于中位数？解释原因；b分布形状的哪些方面告诉你平均数小于中位数？解释原因；c分布形状的哪些方面告诉你平均数和中位数的值相同？解释原因．让学生通过问题的思考探究分布与统计量之间的关系，问题的解答没有固定的方法和唯一的答案，有利于学生对知识的理解、探究与灵活运用，开阔思维、锻炼能力、掌握统计的基本思想．建议进一步优化中国教材习题的要求水平，适当提升运用类、探究类习题的比例．如借鉴Heinemann教材根据给定的数据表写一份小报告分析数据并预测趋势、设计满足题目条件的一组数据或一个统计图，或借鉴Connected教材探究罐子中的豆子数量、探究两组数据之间的关系等，增强学生的应用能力和探究水平．

[1] 曹一鸣．十三国数学课程标准评介[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[2] 史宁中，孔凡哲，李淑文．课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J]．东北师大学报（社会科学版），2005，（6）：151-155．

[3] 鲍建生．中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J]．全球教育展望，2002，（9）：48-52．

[4] 张楠．中美义务教育数学课程标准“统计与概率”领域的比较研究[J]．数学教育学报，2014，23（1）：88-91．

[5] 童莉，张号，张宁．义务教育阶段学生数据分析观念的评价框架建构[J]．数学教育学报，2014，23（2）：45-48．

[6] 王建波，曹一鸣．中美澳初中数学教材统计内容比较研究[J]．数学教育学报，2016，25（3）：14-19．

[7] 郭玉峰．中澳高中数学课程难度的量化研究[J]．中国教育学刊，2014，（4）：88-91．

[8] 杨凡，吴立宝．中美初中数学教科书习题比较研究[J]．数学教育学报，2014，23（5）：56-59．

[9] 王建波．美国CM数学教材统计内容编写特点及其启示[J]．数学教育学报，2015，24（2）：30-34．

Comparative Study of Statistical Course Difficulty Degree in Junior High School Mathematics Textbooks of China, the US and Australia

WANG Jian-bo

(Beijing Normal University Publishing Group, Beijing 100875, China)

The paper selected from China, the US and Australia respectively two types of junior high school mathematics textbooks that were examined and approved by educational administrative organs or widely used, and conducted a comparative study of the statistical content in these textbooks in light of content width, content depth, and depth of statistical exercises. The paper ranked the six types of textbooks in terms of statistical course difficulty degree as follows: Mathematics textbooks and Connected textbooks rank first and second respectively, Heinemann textbooks and ICE-EM textbooks ranked third and fourth respectively, PEP textbooks and BNUP textbooks ranked fifth and sixth respectively. The research findings of this study offer thoughts and enlightenment about the course reform of the statistical content in China’s junior high school mathematics course and the compiling of statistics in textbooks.

mathematics textbooks; statistics; course difficulty; comparative study

[责任编校：周学智]

G40-059.3

A

1004–9894（2017）04–0050–06

2017–03–25

国家社会科学基金“十二五”规划2012年度教育学重点课题——中小学理科教材国际比较研究（初中数学）（AHA120008）

王建波（1976—），男，江西吉安人，编审，博士，主要从事数学教材研究．