一类广义代数Riccati方程的数值求解算法

周立平



一类广义代数Riccati方程的数值求解算法

周立平

（湖南科技学院 理学院，湖南 永州 425199）

广义代数Riccati方程的数值方法在非稳定系统模型降阶，滤波和动力系统控制中有十分重要的作用。本文基于牛顿迭代法设计了一种求解代数Riccati方程的预条件共轭算法，数值实验验证了该方法具有良好的收敛性。

代数Riccati方程；牛顿迭代法；预条件共轭梯度法

1　引　言

本文旨在研究如下一类广义代数 Riccati 方程(ARE)的数值解：

ARE(1.1)的求解在非稳定系统模型降阶，滤波，线性二次校正问题和动力系统控制中有十分重要的作用。ARE（1.1）是二次矩阵方程，且是非线性的，在一定条件下，ARE(1.1)具有唯一的半正定解[1]。

目前，对ARE进行数值求解大多是在Newton迭代法框架下进行。如Chandrasekhar迭代法[3,4]和NM-Kleinman 迭代法[5,6]等，它们的主要思想是将二次方程线性化后再求解. 为给出Peter Benner等人在文[7]中给出了低秩Newton Cholesky因子法(LRCF-NM)和低秩Newton Galekin-ADI 方法(LRCF-NM-GP-ADI)。PFADI

基于Newton迭代法框架求解ARE(1.1)，通常会导出一系列Lyapunov方程。因此，针对这些Lyapunov方程的高效稳定算法成为求解ARE（1.1）的关键。目前，已有一系列研究成果[8,9]。最近，Lin与V.Simoncini在文[10]中提出了基于最小残差法（MINRES）求解大规模Lyapunov 方程的方法。受此启发，本文将在Newton迭代法框架下，结合MINRES方法和预条件共轭最小二乘法(PCGLS)求解Lyapunov方程，进而得到ARE（1.1）的数值解。

2　基于Newton 迭代的预条件共轭梯度法

算法2.1

不失一般性，去掉方程（2.）的各项下标，得到如下一般形式的(广义)Lyapunov方程

对于方程(2.2)，现在最常用的方法是Krylov子空间方法[12-14]。本文取一种简单Krylov子空间为

(2.3)

注意到方程(2.3)的解其实质就是使残差范数最小，设方程(2.3)的近似解为，则它可作为如下优化问题的解

引入算子

，

则(2.4)等价为

对于方程(2.5)，为加快收敛速度，本文采用采用预条件共轭梯度最小二乘方法(PCGLS)求(2.5)的解。事实上，利用拉直算子可将(2.5)化为矩阵-向量方程形式，但为了避免计算结束时再次对向量形式的解进行转换，我们直接使用其矩阵-矩阵形式。记算子的伴随算子为，则。记预条件子为，求解 (2.5) 的PCGLS算法[10]。可描述如下：

算法 2.2

需要指出的是，布尔量flag用于标记Krylov 子空间的基是否能满足算法 2.2的收敛性要求。

结合算法2.1和2.2，我们得到了如下求解ARE(1.1)的基于最小残差的预条件共轭最小二乘牛顿迭代算法。

算法 2.3

3　数值实验

下面我们将给出运用算法2.3求解ARE(1.1)的实例。为简单起见，取ARE(1.1)中为单位矩阵。考察如下二维抛物型偏微分方程

调用Lyapack 软件包[2]中的子程序fdm_matrix和fdm_vector对方程 (5.1) 运用有限差分法进行离散化后生成的网格矩阵..

因此，可取算子M满足

.

模型（3.1）的数值结果如下：

阶数残差向量范数迭代次数 328.2952e-0123 641.0045e-0117 1287.6582-01112

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（责任编校：何俊华）

2017－03－20

湖南省教育厅资助科研项目（项目编号12C0688）。

周立平（1978－），男，湖南永州人，副教授，硕士，研究方向为数值代数和偏微分方程数值解。

O241.6/O151.21

A

1673-2219（2017）06-0001-04