升降法参数估计公式的理论分析与计算机模拟

闫雪梅，董 笑，何 斌

升降法参数估计公式的理论分析与计算机模拟

闫雪梅，董 笑，何 斌

（中国华阴兵器试验中心，陕西华阴，714200）

对升降法的参数估计公式进行了理论分析推导，得到与原估计公式不同的一组参数值，并对其进行了分析修正；应用Monte Carlo方法进行了升降法的大样本模拟试验，对比了不同样本量、同一模拟试验数据、使用不同参数值计算的标准差及其相对误差。结果表明：升降法参数估计公式中的两个参数来源不清，是经验性数据，经分析修正后的参数值来源清晰，模拟结果也表明其对标准差的估计精度较高。

升降法；参数估计；模拟试验

升降法[1]是Dixon和Mood于1948年提出的，由于该方法给出的参数估计公式是通过较长篇幅的理论推导给出的，且极为简单，应用十分方便，因而在国内外产生了巨大的反响，被广泛采用和推广。1987年、1994年国内分别将其列入国家军用标准及有关大专院校专业教材中。然而，经过分析研究发现，文献[1]的理论推导不严谨，甚至存在错误，所给出的估计公式是经验性的，经验性公式必然有一定的局限性，须予以修正[2-3]。本文在分析升降法估计公式存在问题的同时，给出了一个既保持原估计公式简单方便，又能克服其不足的修正方法。

1 理论分析

假定感度总体服从正态分布(,2)，升降法给出和的估计公式为：

（2）

下面对估计公式（1）~（2）的来源进行理论分析。

试验刺激量水为：

式（3）中：0是初次试验相应的刺激量水平。

设在刺激量水平y下有n次成功和m次失败。于是，样本的似然函数为：

式（4）中：

（5）

依极大似然估计原理经分析推导可得：

（7）

式（7）中：

这一结果即式（7）与文献[1]中的结果完全吻合，也就是说文献[1]在这个结果的推导上是正确的。指出这一点很重要，因为它是升降法估计公式的理论基础。文献[1]引用了图1。

图1 升降法参考资料图

令

由图1可求得：

代入式（7）并整理得：

（9）

记

则

（11）

比较式（11）与式（2）可知，1.613系回归时计算误差，可不予考虑，而0.29则是确实存在的，故猜想升降法原公式（2）中的0.029可能是笔误。经进一步研究，猜测图1中的纵坐标可能包含一个常数因子1/2，将这个常数因子扣除后得到一对回归系数是1.613和0.04，与0.029不一致。这就是升降法理论推导中存在的问题。

2 计算机模拟

为验证估计公式（11）中参数的实际取值，针对几个参数值，应用计算机模拟方法进行了模拟验证。

2.1 模拟实现

根据升降法试验规程[4]，计算机蒙特卡罗模拟升降法试验需要产生两种变量序列：临界刺激量y和试验刺激量y，y是随机变量，服从既定概率分布，可随机生成，y由操作规程确定。图2为模拟试验流程图。

图2 升降法模拟试验流程图

2.2 模拟试验及结果

不失一般性，在感度总体服从标准正态分布和均值为50、标准差为10的正态分布条件下分别模拟，即、，模拟次数为5 000次，每次样本量分别为20、40、60、80、100。对分布，分别取步长0.5、1.0、1.5，并各自在起始高度-1.0、-0.5、0、0.5、1.0、1.5时进行模拟试验；对分布，分别取步长5、10、15，并各自在起始高度40.0、45.0、50.0、55.0、60.0时进行模拟试验。应用公式（1）计算样本均值及其与真值的误差，分别取参数为 0.29、0.029、0.04时应用公式（11）计算样本标准差及其与真值的误差，注意到，样本均值估计公式一致，模拟计算结果见表1~2。

表 1 N(0,1)模拟结果

Tab.1 The simulation results of N(0,1) distribution

表 2 N(50,102)模拟结果

Tab.2 The simulation results of N(50,102) distribution

由表1~2可以看出：当参数取0.04时，在相同步长不同起始高度下的相对误差较小。在相同步长、相同起始高度下，随着样本量的增加，参数取0.029、0.04时的相对误差逐渐减小，参数取0.29时的相对误差却没有显示出这一变化规律。图3和图4分别绘出了服从（0,1）分布，不同步长和起始高度时各参数的相对误差曲线。

图3 N(0,1)分布相对误差（步长1.5，起始高度0）

图4 N(0,1)分布相对误差（步长0.5，起始高度-1.0）

由表1~2及图4可以看出：在小样本量情况下，参数取0.29时相对误差较0.029、0.04的小，而图3~4表明参数取0.29时标准差估值没能正确反映随样本量的变化规律，因而这一结果不能说明参数0.29优于0.029、0.04。

图5 N(50,102)分布相对误差

当参数取0.029、0.04时，同步长不同起始高度下的相对误差差别不大。图5为服从分布，在相同样本量和起始高度及不同步长时各参数的相对误差曲线。

3 结论与建议

（1）理论分析表明，虽然升降法的参数估计公式经过了长篇幅的理论推导，但对估计公式两参数1.630和0.029来源的推导存在错误，推导结果应是0.29而不是0.029。（2）模拟分析结果表明，推导出的0.29其误差反而更大，而0.029反倒优于0.29，由此可知，0.029是作者的经验性数据，故升降法的参数估计公式是经验性的。（3）模拟分析表明，参数0.29估值没能正确反映估值随样本量的变化规律，参数0.029和0.04估计误差均优于0.29，0.04又优于0.029，并且0.04来源明确。（4）建议将估计公式改为：=1.613(’+ 0.04)。

[1] W.J.Dixon and A.M.Mood. A method for obtaining and analyzing sensitivity data[J].Journal of the American Statiscial Assciation, 1948(43):109-126.

[2] 张天飞,蔡瑞娇,董海平,曹建华.升降法试验下标准差估计的Monte Carlo分析[J].火工品,2004(2):43-47.

[3] 严楠,蔡瑞娇,田煜斌.计算机模拟升降法试验的研究[J].爆炸与冲击,1998(4):358-364.

[4] GJB 377-87 感度试验用升降法[S].北京：国防科学技术工业委员会,1987.

Theoretical Analysis and Computer Simulation on Parameter Estimation Formula of Up-and-Down Method

YAN Xue-mei, DONG Xiao, HE Bin

(China Huayin Ordnance Test Center, Huayin,714200)

In this paper, another parameter estimation formula by theoretical analysis and formula derivation on up-and-down method were obtained, and the parameter estimation formula was also corrected. A large number of simulation experiments on up-and-down method have been done using the Monte Carlo method, as well as the standard deviations and fractional errors of different parameter values with the same simulation test data and different samples were compared. It shows that the source of two parameters in the old parameter estimation formula is unclear, they are empirical parameters, but the source of two parameters in the corrected parameter estimation formula is clear, the result of simulation test using the corrected parameter estimation formula shows that the estimation accuracy of standard deviation is better.

Up-and-down method；Parameter estimation；Simulation test

1003-1480（2017）01-0014-04

TJ450.1

A

2016-08-11

闫雪梅（1968 -），女，高级工程师，主要从事武器装备试验及数理统计应用研究。