Buck变换器的混杂建模

韩俊锋，张 波，丘东元

（华南理工大学电力学院，广州 510640）

Buck变换器的混杂建模

韩俊锋，张 波，丘东元

（华南理工大学电力学院，广州 510640）

详细分析了Buck变换器在不同工作模态之间的切换条件，并建立了Buck变换器的精确模型。在建模过程中，对于Buck变换器在不同工作模态下的切换条件用相应的逻辑合命题来表示，利用逻辑命题与整数不等式之间的等价关系，把Buck变换器的切换条件等价转换成混合整数不等式,并将不等式约束加入到系统方程中来描述系统的混杂特性，从而建立了Bcuk变换器的新型混杂模型。该模型描述形式简单，符合变换器工作时各模态间切换的一般规律，在DC/DC变换器的建模上具有一定的理论价值。

Buck变换器；逻辑变量；不等式；建模

Abstract：The switching conditions of Buck converter in different operating modes is analyzed in detail,and an accurate model is built in this paper.In the modeling process,the switching conditions of Buck converter are described as logical statements.Based on the equivalent translation principle between the logical statements and linear inequalities,the switching conditions of Buck converter can be transformed into mix integer inequalities.The proposed model is a new hybrid model which is different from the existing ones.

Keywords:Buck converter;logical variable;inequality;modeling

DC/DC变换器是工业上广泛应用的功率变换器之一，对变换器模型的研究正逐渐成为电力电子技术研究的一个热点。DC/DC变换器的建模方法中最具代表性的是状态空间平均法[1-2]和平均值等效电路法[3-4]。状态空间平均法是通过开关占空比加权对时间进行平均处理而得到一个关于原电路统一的状态方程，再经小信号扰动和线性化处理，得到一个统一的等效电路模型；平均值等效电路法是从电路中具体的拓扑结构出发，将电路中的线性部分由受控电压源或电流源进行替换，并进行了平均和线性化处理，最终得到其线性等效电路模型。因此，状态空间平均法与平均值等效电路法实际上都是一种近似的建模方法。而DC/DC变换器是一种强非线性电路，电路在工作中经常存在输入电压或输出负载的大幅度扰动，这时小信号模型中的瞬态响应与系统的实际响应之间的误差就会比较大，因此建立DC/DC变换器的精确模型就显得特别重要。

1999年Bemporad和Morari[5]提出了混合逻辑动态MLD（mixed logical dynamical）系统的模型，该模型是把离散变量与系统连续状态变量联系成为一个统一状态方程。由于建模方法适用范围广，且在建模过程没有对系统进行近似变化，因此MLD建模方法被许多学者用来研究电力电子变换器的建模[6-9]。在DC/DC变换器中，将开关状态的“开”和“关”看作是离散变量、系统的状态变量看作是连续变量，采用MLD建模方法对DC/DC变换器进行建模实际上是一种混杂建模过程。Mihaela Sbarciogt和Robin De Keyser[10]建立了开环情况下Boost变换器的MLD模型，而Mohammad Hejri和Hossein Mokhtari[11-12]应用MLD建模方法分别在闭环控制情况下对Buck变换器和Boost变换器建立了MLD模型，仿真与实验验证了模型的正确性。

虽然DC/DC变换器的MLD模型是一种精确模型，但是建模过程中引入了一些连续变量及逻辑变量，因此模型本身含有较多不等式，在模型的分析与设计上会存在一些问题。本文针对目前常用的降压电路Buck变换器进行建模，在MLD的建模方法的基础上，从变换器的工作机理出发，建立了Buck变换器混杂模型，该模型描述形式简单，符合变换器工作时各模态间切换的一般规律，在DC/DC变换器的建模上具有一定的理论价值。

1 逻辑命题与混合整数不等式

混合逻辑动态系统是由相互依赖的物理规律、逻辑法则以及一系列约束条件组成的系统，因此把命题与逻辑变量联系起来是解决问题的关键。用Xi表示命题，用“T”（true）和“F”（false）表示命题的真假。引入逻辑变量δi∈{0,1}，与相应的命题联系起来，当Xi=T时，δi=1；当Xi=F时，δi=0，即Xi=T↔δi= 1。利用上面的逻辑关系与混合整数不等式之间的联系，考虑同时具有连续动态事件和离散事件的混合系统，用命题语句及逻辑变量进行描述。

命题语句与混合整数不等式间的关系[5]为

式中，ε为任意小的正数，ε＞0。

对于逻辑变量与逻辑变量的乘积δ1δ2及逻辑变量与函数项的乘积y=δf（x），文献[5]也给出了命题语句与混合整数不等式间的关系，即

2 Buck变换器动态分析

Buck是一种典型的DC/DC变换器，具有降压功能，其电路拓扑结构如图1所示。图1中，R表示输出负载，C表示电容，vo表示输出电压，L表示电感系数，iL表示电感电流，vs表示输入电压。

图1 Buck变换器电路拓扑Fig.1 Topology buck converter circuit

阶段1：当开关闭合时，二极管反向截止，Buck变换器工作于模态1，其等效电路如图2所示。

图2 Buck变换器模态1的等效电路Fig.2 Equivalent circuit of Buck converter in mode 1

由图2可得Buck变换器模态1的状态方程为

阶段2：当开关断开且二极管导通时，Buck变换器工作于模态2，等效电路如图3所示。由图3可得Buck变换器模态2的状态方程为

图3 Buck变换器模态2的等效电路Fig.3 Equivalent circuit of Buck converter in mode 2

阶段2中，开关断开时电感电流iL逐渐变小，当iL=0，即当电感电流出现断续情况时，则Buck变换器工作于模态3，等效电路如图4所示。由图4可得Buck变换器模态3的状态方程为

从以上分析可以看出，Buck变换器在不同的工作模态下，相应的状态方程也不同。

图4 Buck变换器模态3的等效电路Fig.4 Equivalent circuit of buck converter in mode 3

3 Buck变换器的建模

文献[5]中的离散形式MLD模型，利用不等式描述控制系统的逻辑关系和约束关系，并将不等式约束加入到系统方程描述系统的混杂特性。

为建立Buck变换器的混合逻辑动态模型，引入逻辑变量δi（i=1，2，3），表示系统的3个工作模态，δi∈{0，1}且满足δ1+δ2+δ3=1，即变换器在任意时刻只能实现某一种工作模态，则状态方程改为

引入下列逻辑命题：

命题1：vcon-vramp≥0时开关闭合，即变换器工作于模态1。

命题2：开关断开且 iL（t）＞0，即变换器工作于模态2。

命题3：开关断开且iL（t）≤0，即变换器工作于模态3。

由于模态2到模态3的过程取决iL（t）的大小，故再引入一个逻辑变量δ4表示iL（t）＞0。则上述逻辑命题与逻辑变量可以表示为

于是式（10）中的部分关系式可以用逻辑变量与逻辑变量的乘积项描述，即

利用式（1）～式（5），逻辑关系式（10）和式（11）可以转化为

设δ＝[δ1δ2δ3δ4]'，vcon=K（vref-vo），其中K为比例系数。式（12）写成矩阵不等式的形式，再结合式（9），则Buck变换器的模型可以描述为

其中：

在式（13）模型中，通过对约束条件的计算，可以得到逻辑变量δi（i=1,2,3,4）和系统的状态变量x。式（13）模型的建模过程中结合了Buck变换器自身的特点，利用逻辑变量与不等式的关系，引入4个逻辑变量建立了Buck变换器的混杂模型。与已有的混杂模型[11-12]相比，式（13）采用了较少的逻辑变量，使得模型的约束条件变得更加简单；且建模过程采用的是系统运行时的瞬时变量，没有任何的假设条件。因此模型式（13）是一个高精度的模型，它把系统在各个阶段的工作条件转成矩阵不等式，改变了传统建模方法以时间区间作为工作条件的想法，使得模型在应用上解决了各阶段工作条件时间区间不易求解的因难。

4 仿真验证

以Buck变换器工作在连续导通模式CCM（continuous conduction mode）和断续导通模式DCM（discontinuous conduction mode）的情况为例验证式（13）Buck变换器模型的正确性。基于Matlab的Buck变换器仿真参数选取如下：开关频率f=10 kHz，输入电压 vs=20 V，参考电压 vref=8 V，电感L=1 mH，电容C=100 μF,常数K＝6，M＝1 000，m=-1 000，ε=10-8，扰动负载 R为 10 Ω [t∈（0，0.02）]、60 Ω [t∈（0.02，0.04）]、10 Ω[t∈（0.04，0.06）]。仿真结果如图5和图6所示。

图5 Buck变换器电感电流及输出电压波形Fig.5 Waveforms of inductor current and outputvoltage of the Buck converter

图6 负载扰动时Buck变换器电感电流及输出电压瞬态波形Fig.6 Transient waveforms of inductor current and output voltage the Buck converter when the load changed

仿真结果表明，当Buck变换器的负载电阻R为10 Ω时，变换器工作在CCM模式；当t∈（0.02，0.04）时，Buck变换器的负载电阻R为60 Ω时，变换器工作在DCM模式。因此，仿真结果说明对于模型式（13）无论Buck变换器工作在CCM模式还是DCM模式，其输出电压都能保持稳定，即Buck变换器混杂模型与理论分析基本一致。

5 结语

本文对Bcuk变换器工作在CCM和DCM的情况下进行分析，把不同模态间的切换条件等效转换成混合整数不等式，建立了Buck变换器的新型混杂模型。与原有模型相比，该模型中包含的逻辑变量较少，模型的表达形式比较简单，是一个高精度模型，有助于对Buck变换器动态特性进行更加详细的分析。仿真结果与理论分析基本一致，进一步验证了模型的正确性及有效性。

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Hybrid Modeling of Buck Converter

HAN Junfeng,ZHANG Bo,QIU Dongyuan
（School of Electric Power,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China）

韩俊锋

10.13234/j.issn.2095-2805．2017．5.160

TM46

A

2015-12-08；

2016-05-10

国家自然科学基金重点资助项目（50937001）；福建省中青年教师教育科研项目（JAT170192）

Project Supported by the State Key Program of National Natural Science of China（50937001）;the Young and Middle-aged Foundation of Fujian Province Education Research（JAT170192）

韩俊锋（1983-），男，博士研究生，研究方向:电力电子系统分析与控制，E-mail: hjf912@163.com。

张波（1962-），男，通信作者，博士，教授，研究方向:电力电子及电气传动、电力电子变换器非线性现象等，E-mail：epb zhang@scut.edu.cn。

丘东元（1972-），女，博士，教授，研究方向：电力电子系统非线性现象和故障诊断方法，E-mail：epdyqiu@scut.edu.cn。