Toader-Qi平均与其他二元平均的几个确界

徐会作， 钱伟茂

(1.温州广播电视大学 经管学院， 浙江 温州 325000； 2.湖州广播电视大学 远程教育学院， 浙江 湖州 313000)

Toader-Qi平均与其他二元平均的几个确界

徐会作1， 钱伟茂2

(1.温州广播电视大学 经管学院， 浙江 温州 325000； 2.湖州广播电视大学 远程教育学院， 浙江 湖州 313000)

研究了Toader-Qi平均TQ(a,b)关于几何平均G(a,b)、对数平均L(a,b)、算术平均A(a,b)和二次平均Q(a,b)若干特殊组合的序关系．运用实分析方法以及第1类Bessel函数的乘积公式，建立若干重要引理，导出了4个关于Toader-Qi平均TQ(a,b)的精确不等式，并获得了特殊情形的结果.

Toader-Qi平均;几何平均;对数平均;算术平均;二次平均.

0 引 言

设a,b>0和a≠b,则几何平均G(a,b)、指数平均I(a,b)、对数平均L(a,b)、算术平均A(a,b)、 二次平均Q(a,b)和Toader-Qi平均TQ(a,b)[1-3]分别为

(1)

(2)

近年来,关于若干经典平均与Toader-Qi平均的比较受到了关注,得到了一定的研究,有关Toader-Qi平均的重要不等式可参阅文献[2-7].QI等[2]证明了

(3)

和不等式

对所有a,b>0和a≠b成立, 并且

(4)

是第1类改进Bessel函数[8].

YANG等[4]证明了

对所有a>b>0成立, 并且

Lα2(a,b)A1-α2(a,b)

β2L(a,b)+(1-β2)A(a,b)

由文献[6],推得精确不等式

TQ(a,b)>L3/2(a,b)

设a>b>0，t=(loga-logb)/2>0,则由式(1)可推得

(5)

由式(2)和(3)可推得

(6)

本文的主要目的是给出以下几个关于Toader-Qi平均与几何平均G(a,b)、对数平均L(a,b)、算术平均A(a,b)和二次平均Q(a,b)特殊组合的精确不等式:

对所有a,b>0和a≠b成立.

1 预备知识和引理

为了证明主要结果, 本节给出一些经典Gamma函数、第1类Bessel函数的基本知识和相关引理.

Γ(n+1)=nΓ(n)=n!,

对所有正整数n成立.

设v>-1,第1类修正Bessel函数Iv(t)定义(见文献[10],p77)为

(7)

注意到在特殊情形下有：

(8)

(9)

引理2(见文献[3],引理2.8) 设I0(t)定义为式(4).则等式

对所有t∈R成立.

引理3等式

(A)

与

(B)

对所有t∈R成立.

证明(A)由式(8)和Cauchy乘积公式(见文献[12],(3.5))

对所有t∈R,有

(B) 由式(9)和Cauchy乘积公式(见文献[12], (3.5))

对所有t∈R,有

证明由式(4)得

(10)

其中，

(11)

经简单计算得到

(12)

证明由引理3(B)得到

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

其中，

(17)

(18)

证明由引理2得到

(19)

其中，

(20)

经简单计算得到

(21)

2 主要结果及证明

定理1双向不等式

(22)

对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α1≤0且β1≥1/8.

证明不等式(22)可写成如下形式:

(23)

因G(a,b),Q(a,b)和TQ(a,b)是对称和一阶齐次的, 不失一般性, 假设a>b>0，t=(loga-logb)/2>0, 则由式(5)和(6),不等式(23)变成

α1

(24)

其中函数f(t)的定义见引理4.

注意到

(25)

由不等式(23)(24)和等式(25)协同引理4,则不等式(22)对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α1≤0且β1≥1/8.

定理2双向不等式

(26)

对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α2≤0且β2≥5/24.

证明不等式(26)可改写成

(27)

因G(a,b),L(a,b),Q(a,b)和TQ(a,b)是对称和一阶齐次的, 不失一般性, 假设a>b>0，t=(loga-logb)/2>0, 则由式(5)和(6)，不等式(27)变成

α2

(28)

其中函数g(t)的定义见引理5.

注意到

(29)

由不等式(27)(28)和等式(29)协同引理5,则不等式(26)对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α2≤0且β2≥5/24.

推论2双向不等式

对所有t∈(0,+∞)成立.

定理3双向不等式

(30)

对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α3≤0且β3≥3/8.

证明不等式(30)可改写为

(31)

因G(a,b),A(a,b),Q(a,b)和TQ(a,b)是对称和一阶齐次的,不失一般性, 假设a>b>0，t=(loga-logb)/2>0, 则由式(5)和(6)，不等式(31)变成

α3

(32)

其中函数h(t)的定义见引理6.

注意到

(33)

由不等式(31)(32)和等式(33)协同引理6,则不等式(30)对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α3≤0且β3≥3/8.

推论3双向不等式

对所有t∈(0,+∞)成立.

定理4双向不等式

(34)

对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α4≤0且β4≥1/4.

证明不等式(30)可改写为

(35)

不失一般性, 假设a>b>0，t=(loga-logb)/2>0, 则由式(5)和(6)，不等式(34)变成

α4

(36)

其中函数k(t)的定义见引理7.

注意到

(37)

由不等式(35)(36)和式(37)协同引理7,则不等式(34)对所有a,b>0和a≠b成立当且仅当α4≤0且β4≥1/4.

[1]TOADERG.Somemeanvaluesrelatedtothearithmetic-geometricmean[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,1998,218(2)：358-368.

[2] QI F, SHI X T, LIU F F, et al. A double inequality for an integral mean in terms of the exponential and logarithmic means[J].PeriodicaMathematicaHungarica,2016.Doi:10.1007/s10998-016-0181-9.

[3] YANG Z H. Some sharp inequalities for the Toader-Qi mean[J]. arXiv:1507.05430.

[4] YANG Z H, CHU Y M. On approximating the modified Bessel function of the first kind and Toader-Qi mean[J].JournalofInequalitiesandApplications,2016,2016(1):40.

[5] YANG Z H, CHU Y M, SONG Y Q. Sharp bounds for Toader-Qi mean in terms of logarithmic and identic means[J].MathInequalAppl,2016,19(2):721-730.

[6] YANG Z H, CHU Y M. A sharp lower bound for Toader-Qi mean with applications[J].JournalofFunctionSpaces, 2016: Article ID 4165601. file:///D:/Users/Administrator/Downloads/4165601.pdf.

[7] GUO B N, QI F. Some inequalities and absolute monotonicity for modified Bessel functions of the first kind[J].CommunKoreanMathSoc,2016,31(2):355-363.

[8] ABRAMOWITZ M, STEGUN I A.HandbookofMathematicalFunctions:WithFormulas,Graphs,andMathematicalTables[M]. New York: Dover Publications,1965.

[9] ANDERSON G D, VAMANAMURTHY M K, VUORINEN M. Conformal Invariants, Quasiconformal Maps, and Special Functions[C]//QuasiconformalSpaceMappings. Heidelberg: Springer,1992:1-19.

[10] WATSON G N.ATreatiseontheTheoryofBesselFunctions[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1995.

[12] THIRUVENKATACHAR V R, NANJUNDIAH T S. Inequalities concerning Bessel functions and orthogonal polynomials[J].ProceedingsMathematicalSciences,1951,33(6):373-384.

XU Huizuo1, QIAN Weimao2

(1. School of Economics and Management, Wenzhou Broadcast and TV University, Wenzhou 325000, Zhejiang Province, China; 2. School of Distance Education, Huzhou Broadcast and TV University, Huzhou 313000, Zhejiang Province, China)

This paper study the order relation of some special combinations of geometric meanG(a,b), logarithmic meanL(a,b), arithmetic meanA(a,b) and quadratic meanQ(a,b) for Toader-Qi mean TQ(a,b). By using the method of real analysis in mathematics and the product formula of the first kind Bessel function, several important lemma are established, and four optimal inequalities for Toader-Qi mean TQ(a,b) are found. The results of particular cases are also presented.

Toader-Qi mean;geometric mean;logarithmic mean;arithmetic mean;quadratic mean

O 174.6

：A

：1008-9497(2017)05-526-05

2016-11-02.

浙江广播电视大学科研课题(XKT-15G17).

徐会作(1978-)，http://orcid.org/0000-0002-9989-2672，男，讲师，硕士，主要从事平均值不等式研究，E-mail：21888878@qq.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.05.005

SomesharpboundsforToader-Qimeanofotherbivariatemeans. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(5):526-530