两种常用鉴相器对Costas环路捕获性能的影响

高 亢，侯孝民，闫 迪，刘燕都，赵 强，张 超

(装备学院，北京 101416)

两种常用鉴相器对Costas环路捕获性能的影响

高 亢，侯孝民，闫 迪，刘燕都，赵 强，张 超

(装备学院，北京 101416)

针对鉴相特性的固有非线性对Costas环捕获性能的影响，对2种常用的鉴相器在不同载噪比下线性区间和鉴相误差进行分析和仿真。仿真结果表明，通过鉴相增益补偿使得频率跟踪精度近似相等的情况下，只考虑线性区间和鉴相误差对捕获性能的影响，反正切鉴相器的捕获时间要比正弦鉴相器短，在捕获过程中反正切鉴相器的调整次数要少，并且有较小的调整幅度，捕获性能更好。为Costas环中鉴相器的选择提供了参考。

Costas环；鉴相器；捕获性能；线性区间；鉴相误差

0 引言

锁相环作为航天测控系统中的重要组成部分，其作用是对输入信号进行捕获跟踪，得到精确的载波相位测量值，从而实现载波恢复、测速和测距等[1]。也就是说，锁相环性能的好坏，直接决定了航天任务能否圆满完成。Costas环是航天测控系统中常用的三阶环，能够无稳态相位误差的跟踪频率阶跃和斜升信号[2]。鉴相器作为Costas环中的相位比较装置，其作用是检测输入信号相位和反馈信号相位之间的相位差，输出的误差信号是相位差的函数，常用的鉴相器有正弦鉴相器和反正切鉴相器[3]。文献[4]只对反正切鉴相器和正弦鉴相器的性能进行了仿真分析，而没有对2种鉴相器对Costas环的捕获性能的影响进行进一步研究。文献[5]中对鉴相器捕获性能进行分析比较时，没有考虑到鉴相增益对于环路性能的影响。

本文从鉴相范围、鉴相增益、线性区间和鉴相误差4个方面对2种鉴相方法进行研究。分析并仿真了不同载噪比对两种鉴相器组成的锁相环捕获性能的影响，为Costas环设计时鉴相器的选择提供了理论参考。

1 Costas环

对于Costas环[6]而言，鉴相器的作用就是从I/Q两路提取出输入信号与NCO反馈信号之间的相位差[7]。Costas环结构模型如图1所示。

图1 Costas环结构模型

令输入信号为：

ui(t)=Uisin[ωot+θ1(t)]，

(1)

NCO输出为：

uoI(t)=Uosin[ωot+θ2(t)]，

uoQ(t)=Uocos[ωot+θ2(t)]。

(2)

经过混频并通过低通滤波器滤除二倍频后[8]，得

(3)

式中，θe(t)=θ1(t)-θ2(t)。

鉴相器通过一定的计算方法，从udI(t)和udQ(t)中提取出相位差θe(t)[9]。之后环路滤波器对相位差进行相位补偿，与本地NCO相位之和便是锁相环的相位跟踪输出[10]。

下面将从鉴相范围、鉴相增益、线性区间和鉴相误差4个方面对两种鉴相方法进行过对比研究。

2 2种鉴相器比较分析

2.1 鉴相范围

鉴相范围即鉴相特性曲线[11]中输入与输出呈一一对应关系的区间，鉴相范围直接决定了是否存在相位模糊的问题。

2.1.1 正弦鉴相器

Costas环中的正弦鉴相器通过I/Q两路正交信号相乘，得到sin[2θe(t)]作为控制信号输出，鉴相器输出表达式为：

(4)

正弦鉴相特征曲线如图2所示。由图2可知，在k1和k2两个区间会产生相位模糊，只有在2θe(t)∈[-π/2,π/2]时，输入和输出才有唯一对应关系，即正弦法的鉴相范围为θe(t)∈[-π/4,π/4]。

图2 正弦法鉴相曲线

2.1.2 反正切鉴相器

同理，反正切鉴相器也是通过I/Q两路正交信号相乘[12]，直接得到输入信号与反馈信号之间的相位差θe(t)作为控制信号，其鉴相器输出表达式为:

ud.arctan(t)=arctan(udI(t)/udQ(t))=θe(t)。

(5)

反正切鉴相特征曲线如图3所示。

图3 反正切法鉴相曲线

由图3可知，反正切的鉴相范围为θe(t)∈[-π/2,π/2]。

2.2 鉴相增益

由式(3)可以得出2种鉴相器的输出为：

ud.arctan(t)=arctan(udI(t)/udQ(t))=θe(t)，

(6)

由式(6)可知,反正切鉴相器的鉴相增益[13]为Karctan=1，正弦鉴相器的增益为Ksin=(UiUo)2/4。

由于鉴相增益会影响整个环路增益和环路带宽，进而影响到捕获速度和跟踪精度，但软件锁相环可以灵活地调整环路增益以补偿掉这些影响，所以不必研究鉴相增益特性[14-15]。在研究线性区间与鉴相误差时，应该通过设置环路增益补偿掉鉴相增益，使得线性鉴相区间内的鉴相输出均为θe(t)，这样影响环路的因素就只剩下线性区间和鉴相误差，与鉴相增益无关[16]。其中反正切鉴相器的增益补偿为1，正弦鉴相器的增益补偿为4/(UiUo)2[17]。

2.3 线性区间和鉴相误差

线性区间[18]就是鉴相器输出的平均值与输入相位存在线性关系的区间。区间的大小直接影响环路的捕获速度，线性区间越大，鉴相器无偏估计出相位的相位差范围就越大，环路就能较快的补偿掉本地NCO和输入信号的相位差[19]。反之，如果线性区间很小，频率捕获时，需要数次的震荡调整才能跟踪上输入信号的频率，从而导致捕获时间较长。

鉴相误差[20]就是鉴相输出和实际相位差的差值，如果[-π/2,π/2]区间内鉴相误差过大会出现调整过度的情况，环路在捕获过程中会出现很大的幅度起伏。

下面从无噪声环境和有噪声环境2种情况进行分析。

2.3.1 无噪声理想环境

无噪声环境下，[-π/2,π/2]区间内的反正切鉴相器和正弦鉴相器的鉴相输出曲线如图4所示，图4中y=x为鉴相输出值和输出相位差相等的情况，即2种鉴相曲线的线性区间。

图4 无噪声鉴相输出曲线

可以看出，反正切鉴相器的线性区间为[-π/2,π/2]，在该区间内的鉴相误差为0；正弦鉴相器的线性区间为[-π/12,π/12]，该区间内的鉴相误差在5%左右[21]。

其三，许多的“文学流派”以地域命名，有鲜明的地域色彩，如宋代的“江西诗派”、“四灵诗派(永嘉四灵)”，明代诗文的“公安派”、“竟陵派”、“茶陵派”、戏曲的“吴江派”、“临川派”，清代的“桐城派”、“浙西词派”、“常州词派”等。

按照上述分析，反正切法的捕获速度要优于正弦法，并且在捕获过程中频率起伏小，为了验证上述结论，选取频率阶跃的单点频信号作为仿真输入。假设输入信号的频率为70 MHz，多普勒频偏为10 kHz，采样率56 MHz，阻尼系数为0.707，自然振荡频率为5 kHz。不加外部噪声的理想情况下进行Matlab仿真。

图5 2种鉴相法锁相环相位跟踪曲线

图6 2种鉴相法锁相环频率跟踪曲线

如图5和图6所示，反正切鉴相器在1.2×10-4s处达到锁定状态，而正弦鉴相器在进行多次调整之后在7×10-4s处达到锁定状态，并且正弦鉴相器在捕获过程中的震荡幅度较大，和之前的推论一致。而因为鉴相增益补偿的原因，2种鉴相器组成的Costas环的频率跟踪精度和相位跟踪精度近似相等。

2.3.2 不同载噪比情况

当输入信号夹杂环境噪声时，噪声对线性区间和鉴相误差的情况不得而知，下面对反正切法和正弦法进行数学推导证明。

令环路输入信号为ui(t)，可表示为：

ui(t)=Uisin[ωot+θ1(t)]，

(7)

经环路前置带通滤波器的作用，n(t)为一个窄带白高斯噪声，可表示为：

n(t)=nc(t)cosωot-ns(t)sinωot，

(8)

这样，环路输出端的信号是信号与噪声之和，即

ui(t)+n(t)=Uisin[ωot+θ1(t)]+

[nc(t)cosωot-ns(t)sinωot],

(9)

(10)

式中，Ud=KmUiUo/2；

N(t)=1/2KmUo[nc(t)cosθ2(t)+ns(t)sinθ2(t)]

等效为高斯白噪声。

反正切鉴相器输出在理论上的线性区间为[-π/2,π/2]，随着载噪比的减小，其鉴相曲线的斜率和线性区间基本不变，但是鉴相误差会逐渐增大。当载噪比继续减小，N(t)足够大时，曲线近似高斯白噪声。

相同条件下，正弦鉴相器的输出为：

(11)

正弦鉴相器输出理论上的线性区间为[-π/12,π/12]，随着载噪比的减小，其鉴相曲线的斜率和线性区间基本不变，但是鉴相误差会逐渐增大。当载噪比继续减小，N(t)足够大时，曲线近似高斯白噪声。

为验证上述结论，分别对20～60 dBHz、步进为10 dBHz载噪比情况下的鉴相器输出进行仿真。不同载噪比下正弦鉴相器和反正切鉴相器的鉴相输出如图7和图8所示。

图7 不同载噪比下正弦鉴相器的鉴相输出

图8 不同载噪比下反正切鉴相器的鉴相输出

由图7和图8可知，载噪比在6～40 dBHz的变化范围内，反正切鉴相器和正弦鉴相器的线性区间随着载噪比降低变化不明显，但是鉴相误差随着载噪比的降低而增大；当载噪比继续降低达到30 dBHz时，2种鉴相器的输出曲线出现了明显的毛刺，线性区间减小，鉴相误差进一步增大；当载噪比低于20 dBHz时，2种鉴相曲线近似为高斯白噪声。仿真结果与理论分析结果相一致。

下面在不同载噪比下比较由2种鉴相器组成的Costas环的多普勒频率跟踪曲线，观察2种鉴相器的捕获性能。仿真条件不变，仿真结果如图9所示。

由仿真结果可知，在相同的仿真条件下，高载噪比时，2种鉴相器构成的Costas环，捕获时调整次数变化不大，捕获过程中的震荡幅度增大，说明鉴相误差有所增大，线性区间变化不大，反正切鉴相器的捕获速度和稳定性要优于正弦鉴相器；当载噪比低于20 dBHz时，根据图7和图8的仿真结果，锁相环性能受到噪声影响严重，得出2种鉴相器的输出近似为环境噪声，其跟踪结果误差较大，无法满足实际需求。

(a) CNR=60 dBHz

(b) CNR=40 dBHz

(c) CNR=20 dBHz图9 高低载噪比下2种鉴相器的多普勒频率跟踪曲线

3 结束语

本文从鉴相范围、鉴相增益、线性区间和鉴相误差4个方面研究了2种常用鉴相器对Costas环捕获性能的影响，针对环境噪声对鉴相器线性区间和鉴相误差的影响，线性区间对捕获速度的影响，鉴相误差对环路在捕获过程中震荡幅度的影响，以及鉴相增益补偿对鉴相精度的影响等问题，进行了理论分析与仿真验证。得出以下结论：① 无论是在高载噪比还是低载噪比的情况下，反正切鉴相器的捕获性能都要优于正弦鉴相器，这是鉴相特性曲线中的线性区间和鉴相误差所决定的。因此，在进行Costas环的设计中，选用反正切鉴相器能够很好的提升锁相环的捕获性能，提高捕获速度和稳定性；② 在频率稳定阶段，各曲线变化基本重合，可见补偿了鉴相增益后的跟踪精度大致相等；③ 为了减少变量对结果的影响，本文没有对跟踪精度进行研究，以后可以针对鉴相器对于跟踪精度的影响做进一步研究。

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ResearchontheInfluenceofTwoPhaseDiscriminatorsonCostasCapturePerformance

GAO Kang,HOU Xiao-min,YAN Di,LIU Yan-du,ZHAO Qiang,ZHANG Chao

(EquipmentAcademy,Beijing101416)

In view of the inherent nonlinear effect of the phase discrimination characteristics on the capture properties of Costas loop,the two common phase discriminators in the linear range and phase discrimination error under different load ratios are analyzed and simulated.Simulation results show that,under the circumstances of giving approximately equal frequency tracking accuracy through phase gain compensation,and only considering the effects of linear range and phase error on the capture properties,the capture time of arc tangent phase discriminator is shorter than that of sine phase discriminator,and in the capture process the arc tangent phase discriminator has less adjustment time,a smaller phase fluctuation and better capture performance.These results provide reference for the selection of Costas loop phase discriminator.

Costas loop;phase discriminator;capture performance;linear interval;phase discrimination error

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.10.08

高亢，侯孝民，闫迪，等.两种常用鉴相器对Costas环路捕获性能的影响[J].无线电工程,2017,47(10):34-38，44.[GAO Kang,HOU Xiaomin,YAN Di,et al.Research on the Influence of Two Phase Discriminators on Costas Capture Performance[J].Radio Engineering,2017,47(10):34-38，44.]

TP319.4

A

1003-3106(2017)10-0034-05

2017-05-31

高亢男，(1992—)，硕士研究生。主要研究方向：飞行器测量与控制。侯孝民男，(1968—)，博士，教授。主要研究方向：飞行器测量与控制、数字信号处理等。