周淑丹
高中数学人教A版必修4第100页探究题为:当 时,点P的坐标是什么?由此不难得出P点的横坐标 ( )。我们进一步研究 和 的联系,上式变形为 ,这是一个反比例型函数,其图象为
( ) ( )
根据图象的特征,我们可得到
性质:平面内两定点 ,不妨设 , (i=1,2,3……)满足 ,对于不同的i,j,有
(1) 若 ,则 ,且点 比 距B点近;
(2) 若 ,则 ,且点 比 距B点远;
(3)若 ,则 ,且点 在点B左(右),点 在点B右(左);
证明:(1)
又 ,
( ) ,由图象知,点 比 距B点近。(2),(3)同理可证。(略)
我们利用上述性质,常可应用于下列几何问题:
1.用于比较值的大小
例1.已知 , , ,试比较a,b,c的大小。
分析:此题常规法利用函数单调性解。根据数字的结构特征,可化为 形式的式子,再利用性质能较方便的得出大小关系。
解:设 , 满足 ,令 , , ,此时 , , ,且 根据性质(1)得 。
上题可推广到更一般化情形:
设 且 ,b,t,s ,试比较 与 的大小。
分析:将原式变形为 与 ,设 , 满足 ,令 , ,当 时, ,有 , ,又 ,所以 ,由性质1知,前者比后者大。当 时,同理可得。(略)
例2.已知 且 , ,判断 与 的大小。
分析:根据分式结构关系,分子三倍角正切可化单角的正切,再化简转化为需要的形式。
解: , ,
设 , 满足
令 , ,
(i)当 时, , ,
, ,由性质(1)知 ;
(ii) 当 时,有 ,由性质(1)知 ;
(iii)当 时,有 ,由性质(3)知
2.应用于解不等式
例3.解不等式:
解:令 , , 满足 , ,则不等式转化为 ,即点 在点 与 之间(包括端点)变动,而 满足 时对应的 ,所以
即
(1)当 时, ,即原不等式的解集为 ;
(2)当 时, ,即原不等式的解集为 。
3.应用于证明不等式
例4. 若 ,则 。
证明: ,
设点 , 满足 ,令 , ,由 知 ,所以 ,即
由性质(3)知 ,且点 在点B左边,点 在点B右边,所以 即 。
例5.若 ,求证 不能介于 与 之间。
证明: , , ,
设点 , 满足 ,令满足 , , ,因为 , ,所以 , , ,
即 。
当 时,
当 时,
即 不能介于 与 之间。
由上述几方面的解题思路不难看出,任何一道看似繁难的课外题目,它的解题知识点和思想方法其实都在课本内。因此,加强对课本知识的深挖细析是提高解题能力的关键。
参考文獻:
【1】林国钦.构造定比分点坐标解题.中学数学月刊,1999.6.
【2】满多博.构造函数解不等式问题的若干方法.数学教学研究,2002.2.
【3】宋海永.挖掘课本素材,成就精彩教学.中学数学月刊,2012.8.
【4】王淼生.数学美本质上终究是简单.数学教学,2013.8.endprint