简述导数在高中数学新课程中的地位与作用

金红莲

摘要：导数作为高中新教材新增内容之一，它给高中数学增添了活力，特别是导数的广泛应用性，为解决函数、切线、不等式、数列等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出一道靓丽的风景线，也使它成为新教材高考命题的热点。近几年高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”地位，成为分析问题和解决问题的重要工具。

关键词：导数；高中数学；新课程；地位与作用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）07-0116

导数（“导函数”的简称）是一类特殊的函数，利用导数可以求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题等。导数在函数中的应用很广，所以，导数是分析和解决问题的有效工具。本文通过探讨导数在新课程中的地位以及在数学解题中的应用，以拓展学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。

高中数学是由必修课程和选修课程两部分构成。必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣选修。选修课程由系列1、2、3、4等组成，在系列1和2中都选择了导数及其应用。显然，导数的重要性不言而喻。

一、有利于学生理解函数的性质

在高中阶段学习函数时，主要学习函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来。因而，如果能准确作出函数的图像，函数的性质就一目了然。

如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，如函数y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，仅用描点法就很难准确地作出图像。但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点和最值点；利用极限思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。这样就有利于学生理解函数的性质，同时也拓宽了学生的知识面。

1. 利用导数求函数的解析式

用解析式表示函数的关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加清晰。

例1. 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。

解析：因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以，P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而得：d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′ x=0 =12，而y′=3ax2+2bx+c，y′ x=0 =c，从而得出：c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以，

12a+4b+12=08a+4b+20=0

解得：a=2，b=-9。

所以，函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4

2. 利用导数求函数的单调区间

函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑f ′（x）的正负即可，当f ′（x）>0时，f（x）单调递增；当f ′（x）<0时，f（x）单调递减。

利用导数判断函数的单调性的步骤是：①确定f（x）的定义域；②求导数；③在函数f（x）的定义域内解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0；④确定f（x）的单调区间。

若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

此方法简单快捷且适用面广。

例2. 求函数f（x）=x3-3x2+3的单调区间。

解析：求导数y′，y′=3x2-6x

由y′>0得：3x2-6x>0，解得：x<0或x>2

由y′<0得：3x2-6x<0，解得：0

故所求单调增区间为（-∞，0）∪（2，+∞），单调减区间为（0，2）

3. 利用导数求函数的最（极）值

求函数的最（极）值是高中数学的难点，也是高考经常考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰。

一般地，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：（1）求f（x）在开区间（a，b）内的极值；（2）将y=f（x）的各极值与端点处函数值 f（a）、f（b）比较，其中，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。求可导函数极值的步骤是：①确定函数定义域，求导数f ′（x）；②求f ′（x）=0的所有实数根；③判断在每个根（如x0）的左右两侧，导函数f ′（x）的符号如何变化。如果f ′（x）的符号左正右负，则f（x0）是极大值；如果f ′（x）符号左负右正，则f（x0）是极小值。

注意：如果f ′（x）=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f（x0）不是极值。

例3. 设函数f（x）=ln（2x+3）+x2，求f（x）在区间[-■，■]的最大值和最小值。

解析：依据题意可得：f（x）的定义域为（-■，+∞）

求得导数为f ′（x）=■+2x=■=■

当f ′（x）>0时，解得：-■-■

当f ′（x）<0时，解得：-1

從而，f（x）分别在区间（-■，-1），（-■，+∞）上单调递增，在区间（-1，-■）上单调递减。

由此可知，f（x）在区间[-■，-■]的最小值为f（-■）=ln2+■

又f（-■）-f（■）=ln■+■-ln■-■=ln■+■=■（1-ln■）<0

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所以，f（x）在区间[-■，-■]的最大值为f（■）=■+ln■

所以，f（x）在区间[-■，-■]的最大值为f（■）=■+ln■，最小值为f（-■）=ln2+■

例4. 求函数f ′（x）=■x3-4x+4 的极值。

解析：由f ′（x）=x2-4=0，解得：x=2或x=-2

当y′>0时，解得：x∈（-∞，-2）或（2，+∞）

当y′<0时，解得：x∈（-2，2）

从而，f（x）在区间（-∞，-2），上单调递增，在区间（-2，2）上单调递减。所以，

当x=-2时，y有极大值，f（-2）=■

当x=2时，y有极小值，f（2）=-■

二、有利于学生理解曲线的切线问题

学生由于受“圆上某点的切线”定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线。如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道f（x）在点x=x0的切线斜率k，正是割线斜率在x→x0时的极限，即k=lim■

由导数的定义，k=f ′（x），所以，曲线y=f（x）在点（x0，y0）的切线方程是y-y0=f ′（x0）（x-x0）

这就是说，函数在点x0处的导数f ′（x0）是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率。

从而学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C及曲线上的一点P，在点P外另取曲线上一点Q，作割线PQ，当点Q沿曲线趋向点P时，如果割线PQ绕点P旋转而趋向极限位置PT，那么PT直线就称为曲线C在点P处的切线。

1. 利用导数解决曲线上某点的切线问题

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，即曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率f ′（x0），相应的切线方程为y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0）

例5. 已知曲线f（x）=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

解析：判断可知，点（1，-3）在曲线上，根据导数的几何意义可得：y′=3x2-6x

当x=1時，y′=-3，即所求切线的斜率为-3

故所求切线的方程为y+3=-3（x-1），即y=-3x

2. 利用导数解决曲线外某点的切线问题：

要求曲线外某点的切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程。

例6. 求曲线y=ex在原点处的切线方程。

解析：显然，点（0，0）不在曲线y=ex上，由于y′=ex，则：

设切点坐标为P（x0，y0），所以，y0=ex0

则过点P的切线方程为y-ex0=ex0（x-x0）

因为点（0，0）在切线上，所以，-ex0=ex0（-x0），即x0=1，所以，切点为P（1，e）

故切线方程为y-e=e（x-1），即y=ex

三、有利于学生掌握函数思想

数学中许多问题用初等数学方法是不能解决的，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正是体现和显示了新课程的优越性。我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数来解决相关问题。

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线等问题。因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义。

（作者单位：湖北省枝江市第一高级中学 443200）endprint