浅谈高中数学排列组合问题中的教学策略

2017-09-20 16:11朱柳霞
科学中国人 2017年21期
关键词:优先题型解题

朱柳霞

大连市普兰店区第三中学

浅谈高中数学排列组合问题中的教学策略

朱柳霞

大连市普兰店区第三中学

排列、组合是高中数学的重要知识之一,它与以往知识联系不多,又是后续学习部分概率知识的基础.由于它应用广泛,题型多变,而解题方法十分灵活,切入点多且抽象性强,在解题过程中极易出现重复或遗漏现象,因此学生初学这部分内容,普遍感到难于把握,不容易得分。本文结合教参上提到的解题策略,结合教材内容以及以往学生存在的不足,对相应的习题进行了整编,仅供教学参考。

排列;组合;解题方法;教学策略

结合教师用书中提到的合理分类与准确分步法、正难反易转化法、混合问题“先选后排”法、特殊元素“优先安排法”等十二种排列、组合问题求解策略,对教材上内容做以下处理,目的就是以教材为本,由浅入深,从易到难,通过在同一个题干所形成的不同环境中,感受不同的条件下解决排列、组合问题思维方式的变化;以及不同题型条件下,相似排列组合问题解题的相近之处,引导学生从不同角度把握每一种解题策略的特征,以及不同题型的切入口。

1.题型一、密码及数字问题

例用0到5这六个数字可以组成:

⑴没有重复数字的四位数?

⑵没有重复数字的能被5整除的四位数?

⑶比2000大且没有重复数字的自然数?

解析:⑴合理分类与准确分步法;根据所选数字中是否含“0”分为两类:

⑵合理分类与准确分步法;先根据个位数字能被5整除分为个位数是“5”或“0”两大类,(其中个位数字是“5”时,又按照是否含“0”分为两小类);

⑶合理分类与准确分步法;根据比2000大四位、五位、六位数分为

变式练习:从1,3,5,7,9中任取三个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,可以组成多少:

⑴无重复数字的五位数?

⑵万位、百位和个位是奇数的无重复数字的五位数?

⑶千位和十位数字只能是奇数的无重复数字的五位数?

解析:⑴混合问题“先选后排”;先从1,3,5,7,9中任选三个奇数,再从2,4,6,8中任选两个偶数所以共有=7200;

⑵特殊位置“优先安排”;根据万位、百位和个位是奇数,先从五个奇数中选三个排好,再从四个偶数中选两个安排十位和千位,所以共有=720种方法;

⑶特殊位置“优先安排”与混合问题“先选后排”相结合;先从五个奇数中选两个安排千位、十位,再从剩下的三个奇数中任选一个,四位偶数中任选两个数字,安排相应的顺序,所以共有=2160种方法。

2.题型二、队列问题

例将2个男生和4个女生排成一排:

⑴男生排在中间的排法有多少种?()

⑵男生不在头尾的排法有多少种?

⑶两个男生相邻的排法有多少种?

⑷男生不相邻的排法有多少种?

⑸男生不相邻且不在头尾的排法有多少种?

⑹2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种?

⑺男生甲必须站在男生乙的左边的排法有多少种?

⑻男生甲、乙之间恰好隔一人的排法有多少种?

解析:⑴特殊位置或特殊元素优先考虑;从六个位置中选取中间两个位置安排男生就座,剩下四个位置安排四个女生就座,共有=48种方法。

⑵特殊位置或特殊元素优先考虑;从六个位置中,剔除头尾的四个位选取两个安排两个男生就座,然后在剩下的四个位置安排四个女生就座共有=288种方法。

⑶相邻问题一“元”法;先将两个男生排序后看作一“元”,与剩余的四人,构成五“人”进行排序,共有=240种方法。

⑷不相邻问题“插空法”;先安排四个女生就座,在四个女生就座后产生的五个空隙中安排两个男生就座,共有=480种方

法。

⑸不相邻问题“插空法”与特殊位置或特殊元素优先考虑法相结合,先安排四个女生就座,在四个女生就座后产生的空隙中,除去首尾空隙共三个,三个空隙安排两个男生就座,共有=144种方法。

⑹总体淘汰法;这个问题直接考虑分类情况比较多,且“易重易漏”,这是一个典型的适用总体淘汰法的例子.在六个人全排的排法中,减去男生甲与该女生相邻,再减去男生乙与该女生相邻的排法,然后加上该女生同时与男生甲、乙相邻的排法,所以共有。

⑺顺序固定问题用“除法”,对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排;甲必须在乙的左边,即甲乙顺序一定,共有种方法。

⑻局部问题“整体优先法”;这种方法与“相邻问题一‘元’法”非常类似,但涉及到先选后排,在除去甲、乙剩下的四人中任选一人在甲、乙中间,再给甲、乙排序,然后看作一“元”,与剩下三人全排,所以共有=192种方法。

变式练习:1.有六个人分成两排就座,每排3人:

⑴有多少种不同的坐法?

⑵如果甲不能坐第一排,乙不能坐第二排,有多少种不同的坐法?

⑶如果甲和乙必须在同一排且相邻,有多少种不同的坐法?

⑷如果甲和乙必须在同一排且不相邻,有多少种不同的坐法?

解析:⑴分排问题“直排法”;若没有特殊元素,只是简单的分排,“分排”问题直接转化成“直排”,所以排法共有=720种;

⑵特殊元素“优先考虑”与分排问题“直排法”相结合;“甲不能坐第一排,乙不能坐第二排”,所以在第二排选一个座位给甲,在第一排选一个座位给乙,然后剩下的元素采用“直排法”,所以共有=216种排法;

⑶特殊元素“优先考虑”与捆绑法相结合;先在两排中给甲、乙选一排,再将甲、乙看成一“元”,安排甲、乙的顺序后,再安排同一排左边或右边就座,剩下元素采用“直排法”就可以了,所以共有192种排法;

⑷特殊元素“优先考虑”与“直排法”相结合;先在两排中给甲、乙选一排;因为甲、乙不相邻,就安排甲、乙在这一排的左边或右边就座,剩下元素采用“直排法”就可以了,所以共有=96种排法。

2.有6个座位连成一排,安排3个人就座,⑴恰有两个空位相邻的不同坐法有多少种?

⑵任何两人不相邻的坐法有多少种?

解析:⑴正难反易转化法;直接在座位上安排人就座,情况复杂,不易解决.换一种思路,先给三人排座位,让空座位插空,所以共有=72种排法;

⑵正难反易转化法;⑵与⑴类似,方法也类似,分3人中每两个人之间恰有一个空位或3人中某两个人之间恰有两个空位两种情况,所以共有=24种排法.

3.题型三、分组问题

例将6名应届大学毕业生分配到3个公司:

⑴3个人分到甲公司,2个人分到乙公司,1个人去丙公司,有多少种不同的分配方案?

⑵一个公司去3个人,另一个公司去2个人,剩下的公司去1个人,有多少种不同的分配方案?

变式练习

1.六本不同的书,按照以下要求处理,有几种分法?

⑴一堆一本,一堆两本,一堆三本;

⑵甲得一本,乙得两本,丙得三本;

⑶一人得一本,一人得两本,一人得三本;

⑷平均分给甲、乙、丙三个;

⑸平均分成三堆,有几种分法;

⑹一人得四本,两人分别得一本。

解析:本题重点考察题目中隐含的条件是否考虑顺序,首先要审题,清楚是分组还是分配问题.其中分配问题又分为定向分配问题与不定向分配问题,⑴分组问题,故有=60种分法;⑵定向分配问题,按照题目“甲得一本,乙得两本,丙得三本”的要求,分步完成任务,本身就涵盖顺序,所以共有=60种分法;⑶分组问题,因为接收的对象不同,所以先分组后排列,所以共有360种分法;⑷定向分配问题,本小题与⑵类似,“选”时已经完成了“排”序,所以共有90种方案;⑸平均分组问题,除

2.六本相同的书,按照以下方法处理,有几种分法?

⑴分给三个人;⑵分给三个人,每人至少一本;

解析:相同元素“隔板法”;⑴分给三人,就可能某人或某两人一本书也没分到,在六本书产生的七个空隙间,随机加入一个空隙,然后插入两个隔板,共有C82=28种分法;

⑵因为分给三人,每人至少一本,就在六本书产生的五个空隙间插入两个隔板,共有C52=10种分法。

总结

通过上述内容的设计,学生对排列、组合中常用的解题策略应该会有一个辩证的认识,遇到类似的问题应该可以下手,但依旧不足以规避出现“重复”和“遗漏”的错误,除多加练习外,建议教学中,辅助以课件展示,形象直观的展示各种方法的区别和联系,强调数形结合、化归与转化、分类讨论等数学思想方法的重要性,形成总结解题规律,掌握若干技巧。

[1]普通高中课程标准实验教科书[M].2007(4):3-36;

[2]普通高中课程标准实验教科书教师教学用书[M].2007(5):8-10;

[3]钱金田.高中数学排列组合几种常见题型及解法[J].中华少年·教学版,2010(12):161-162.

[4]杨万贵.高考数学中解排列组合问题的几种常用方法[J].时代报告刊,2013(2):325-325.

[5]王忠富,刘晓平.队列问题“十六问”[J].语数外学习·高考数学,2009(2),48-50.

朱柳霞(1982-),女,山西泽州人,一级教师,硕士,辽宁省大连市普兰店区第三中学。

猜你喜欢
优先题型解题
用“同样多”解题
离散型随机变量常考题型及解法
常见数列创新题型归纳
巧妙构造函数 破解三类题型
用“同样多”解题
八月备忘录
八月备忘录
随机抽样题型“晒一晒”
跟踪导练(四)
巧用比妙解题