基于LQR控制的一级倒立摆MATLAB仿真研究

潘俊朋+桑运晓+吕国娜+任保飞+刘树骏

摘 要：：本文首先通过分析单级倒立摆系统建立相应的状态空间数学模型，然后对倒立摆系统进行LQR 控制器设计，最后使用Matlab 进行仿真，结果表明在本文加权矩阵Q、R 的取值下，LQR 控制器可使系统达到有效的控制，小车位置跟着摆杆的角度动作，系统具有较短的调整时间、较小的超调量和较好的动静态性能。

关键词：倒立摆 Matlab LQR 控制

一、前言

单级倒立摆系统是一种不稳定、多变量且具有强耦合的非线性系统。如果把它当做一个单输出系统来处理将无法到达控制要求，所以对于这样的多输出系统，我们需要用到状态空间数学模型来对其进行分析。

二、建立系统的状态空间数学模型

为了方便而又不失精确的对单级倒立摆系统建立数学模型，实际中忽略一些次要的因素后的一级倒立摆系统简图如图1所示，系统受力分析如图2所示。

定义各参数：作用在小車的外力用F表示；摆杆与垂直向上方向的夹角用φ表示；摆杆与垂直向下方向的夹角用θ表示；采样时间为T=0.005s；摆杆的质量为m=0.2kg；摆杆的惯量为I=0.006kg*m*m；摆杆转动轴心到摆杆质心的距离为l=0.3m；小车的摩擦系数为b=0.1N/m/sec；小车的质量为M=0.5kg；小车的位置用x表示。

应用Newton方法来建立系统的动力学方程并经过整理后得到系统状态空间方程：

三、LQR控制器设计及其Matlab仿真

为了同时对小车的位置和摆杆的角度都进行有效控制，我们使用线性二次性最优控制算法（LQR）。这种控制算法在现代控制理论中占有举足轻重的地位，通过多年的研究，使最优控制算法得到越来越广泛的工程应用。

LQR控制系统框图如图3所示。其中R是作用于小车的阶跃信号，四个状态量 和 分别代表小车的位移和速度、摆杆的位置和角速度。设计这个控制器的目的就是要达到以下效果：当给系统作用一个阶跃信号输入时，摆杆晃动后会重新回到垂直位置，小车会重新处于一个命令位置。

通过Matlab仿真程序求出状态方程系数矩阵如下：

系统是能控的是最优控制的前提条件，需要先判断系统的能控能观性：

系统的能控矩阵的秩：rank[B AB A2B A3B]=4；

系统的能观矩阵的秩：rank[C CA CA2 CA3]=4。所以，系统是能控能观的。

在使用LQR算法进行控制器设计时，主要是求得反馈向量K的值。为了使问题简化及加权矩阵具有比较明确的物理意义，将Q取为对角阵。经过实验取

编写LQR的m文件，使用Matlab控制系统工具箱中的lqr函数进行运算，得到反馈控制向量：K=[-70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238]。

运行得到仿真曲线，即LQR控制阶跃响应曲线如图4所示。

从系统阶跃响应曲线图中可以看出，在本文加权矩阵Q、R的取值下，LQR控制器可使系统达到有效的控制，小车位置跟着摆杆的角度动作，系统具有较短的调整时间、较小的超调量，符合设计要求。

参考文献：

[1] 张静. MATLAB在控制系统中的应用[M].北京：电子工业出版社，2007.

[2] 李俊芳，牛文兴，张振东.基于状态空间法的倒摆系统稳定控制[J].天津理工学院学报，2003（2）：34 -36.

[3] 王小侃，冯冬青.基于MATLAB的LQR控制器设计方法研究