等价无穷小在函数极限中的应用与推广

陈飞翔

摘 要 等价无穷小是数学分析中一个非常重要的概念，在求极限中有着广泛的应用。本文主要介绍等价无穷小在函数极限中的的应用及推广。

关键词 极限 等价无穷小

中图分类号：O171 文献标识码：A

高等数学中极限的概念贯穿了整个大学的数学阶段。运用等价无穷小替代原理求解极限是一种广泛而又快速的方法。由于这个方式运用起来非常的快捷方便，从而缩短、简化运算量，受到了多数人的喜爱，因此有必要对等价无穷小作进一步深刻的研究和探讨。

1 基本概念与基本性质。

定义1：若，则称函数是当xa中的无穷小。

类似的，可以定义当xa+，xa，x+∞，x ∞，x∞等变化过程中的无穷小。

无穷小有以下几个性质：

性质1、，其中是当时的无穷小。

性质2、 若函数与都是某一过程中的无穷小，则它们的和或积也是该过程中的无穷小。

性质3、 若函数是某一过程中的无穷小，函数是该过程中的有界量，则它们的积也是该过程中的无穷小。

常用的等价无穷小：当x0的时候，，，，，，

2 等价无穷小的应用

例1：求极限

解：因为当时，，且

，

所以

又因为

所以

得：原式=

例2：求极限

解：当的时候，

因为

所以

例3：求极限

解：当的时候，因为

所以

由上面的例题可以看出，在求函数极限的时候等价无穷小的替换是一种十分常见的计算方式，并且简便，快捷.不容易因为繁琐的方式而出错，因而，在求函数极限的时候等价无穷小得到了十分灵活的运用。

3 等价无穷小应用的推广

在对比两个无穷小的极限的时候，刚刚开始学习的人时常都有出差错的时候，例如：求的时候，若是用，在做等價无穷小替换的时候，那么，但是这肯定是不正确的算法，所以到底怎么做才是正确的算法呢？下面就是等价无穷小在函数极限中的几个推广。

推广1：假定在这同一变动过程当中的自变量，都是无穷小量，并且是的高阶无穷小量，即，则

证明：因为，则，，即

例4、求

解：当时，，。由于、都比3x的阶高的无穷小量。由，则比的阶高的无穷小量。由推广定理1知。

由上述例题我们可以得到证明，在求无穷小的极限的时候，我们可以把高阶的无穷小量忽略或者丢弃，从而让我们达到一种简化计算的目的，在复杂的极限求算中，这个方式的效果非常明显。

推广2：假定在的过程中是无穷小量，且，都是该过程中的的无穷小量，且，则时，有。

证明：由洛必达法则计算有

于是。

例5、求

解：当时，，，

所以

如果这个例题用洛必达法则求解，过程非常复杂，还有可能算不出来答案，但是用了推论2的方法，我们可以很轻松求出答案。

例6、求

解：由当时，，.得到：，，

于是乎：

由此例题可见等价无穷小计算起来简单快捷。

参考文献

[1] 刘玉琏，傅沛仁等，数学分析讲义（第四版）上册[M]，北京：高等教育出版社，2003.endprint