Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数上界的进一步研究

李艳艳

(文山学院 数学学院, 云南 文山 663009)

Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数上界的进一步研究

李艳艳

(文山学院 数学学院, 云南 文山 663009)

通过引入恰当的参数，构造严格对角占优矩阵，并利用该矩阵与Nekrasov矩阵的关系，得到Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数的带有参数的2个新上界.数值算例说明:一定情况下，得到的新上界提高了现有的结果，从而对现有文献进行了有益补充.

Nekrasov矩阵； H矩阵； 无穷范数； 逆矩阵； 上界

H矩阵被广泛应用于众多领域[1]，它的许多子类都得到了大量学者的研究[2-14]，但是Nekrasov矩阵作为H矩阵的重要子类，关于它的研究主要集中在矩阵的判定、特征值的估计等方面[5-8].本文研究目前较少探讨但很有意义的该类矩阵的逆矩阵无穷范数的上界问题.

1 预备知识

令Cn×n(Rn×n)表示复(实)矩阵的集合，N表示自然数的集合.

设A=(aij)∈Rn×n，若A的比较矩阵

可逆，且〈A〉-1≥0，则称〈A〉是M矩阵，同时称A是H矩阵.

设A=(aij)∈Rn×n，若

则称A是严格对角占优矩阵；若

i=2,3,…,n，

则称A是Nekrasov矩阵.

为了后面研究的需要，将矩阵A分裂为

A=D-L-U，

其中

D=diag(a11,a22,…,ann)，

引理 1[9]设A=(aij)∈Rn×n是非奇异H矩阵，则

引理 2[10]设

A=(aij)∈Rn×n，n≥2，aii≠0，

则

e=(1,1,…,1).

引理 3[11]矩阵A=(aij)∈Rn×n，n≥2是Nekrasov矩阵的充要条件是

(|D|-|L|)-1|U|e

同时，该条件还隐含了E-(|D|-|L|)-1|U|是严格对角占优矩阵，其中E是单位矩阵.

引理 4[12]设A，B∈Rn×n，A、A-B是非奇异矩阵，则

(A-B)-1=A-1+A-1B(E-A-1B)-1A-1.

引理 5[12]若‖A‖<1，那么E-A是非奇异的，且

‖(E-A)-1‖.

2 Nekrasov矩阵无穷范数的上界

下面通过引入恰当的参数，构造严格对角占优矩阵，并利用该矩阵与Nekrasov矩阵的关系，得到Nekrasov矩阵的逆矩阵无穷范数的带有参数的2个新上界.

定理 1 设矩阵A=(aij)∈Rn×n是Nekrasov矩阵，若

则

‖A-1‖

其中

z1(A)=1，

证明 令

C=E-(|D|-|L|)-1|U|，

由于矩阵A是Nekrasov矩阵，由引理3知，C是严格对角占优矩阵，再令

C(μ)=CD(μ)=(E-(|D|-|L|)-1|U|)D(μ)，

其中

由文献[13]中的引理4知C(μ)也是严格对角占优矩阵.进一步

C(μ)=(|D|-|L|)-1〈A〉D(μ)，

那么

〈A〉=(|D|-|L|)C(μ)D(μ)-1，

即

‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖C(μ)-1‖‖(|D|-|L|)-1‖.

又由引理1知

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖，

所以

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖C(μ)-1‖‖(|D|-|L|)-1‖.

为了得到‖A-1‖的上界，分别研究‖C(μ)-1‖和‖(|D|-|L|)-1‖的界.

首先,研究‖(|D|-|L|)-1‖的界.因为|D|-|L|是M矩阵，则

‖(|D|-|L|)-1‖=‖(|D|-|L|)-1e‖，

令

y=(|D|-|L|)-1e，

则

e=(|D|-|L|)y.

写成分量有

‖(|D|-|L|)-1‖=‖y‖.

其次,研究‖C(μ)-1‖的界.利用C(μ)的定义和引理4知

‖C(μ)-1‖=

‖[(E-(|D|-|L|)-1|U|)D(μ)]-1‖≤

‖(E-(|D|-|L|)-1|U|)-1‖‖D(μ)-1‖=

‖E+E-1(|D|-|L|)-1|U|(E-E-1(|D|-

|L|)-1|U|)-1E-1‖‖D(μ)-1‖≤

‖E‖+‖E‖‖(|D|-|L|)-1‖‖|U|‖×

(1)

将

‖(|D|-|L|)-1‖=‖y‖,

代入(1)式有

‖C(μ)-1‖.

结合以上得

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖C(μ)-1‖‖(|D|-|L|)-1‖=

‖D(μ)‖‖D(μ)-1‖

关于μ的取值，分类讨论如下:

当μ>1时有

‖A-1‖，

当μ<1时有

‖A-1‖；

即

‖A-1‖

定理证毕.

定理 2 设矩阵A=(aij)∈Rn×n是Nekrasov矩阵，若

则

‖A-1‖

其中

z1(A)=1，

证明 设B=|D|C，由于矩阵A是Nekrasov矩阵，则由引理3知E-(|D|-|L|)-1|U|，B是严格对角占优矩阵.再令

B(μ)=BD(μ)=

即

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖B(μ)-1‖‖(E-|L||D|-1)-1‖.

为了得到‖A-1‖的上界，分别研究‖(E-|L||D|-1)-1‖和‖B(μ)-1‖的界.

首先研究‖(E-|L||D|-1)-1‖的界.由于E-|L||D|-1是M矩阵，则

定义

则

写成分量形式有

z1(A)=1，

则

其次研究‖B(μ)-1‖的上界.由B(μ)的定义知

‖B(μ)-1‖≤‖|D|-1‖×

而

‖(E-(|D|-|L|)-1|U|)-1‖=

‖E+E-1(|D|-|L|)-1|U|(E-

E-1(|D|-|L|)-1|U|)-1E-1‖=

‖E+E(|D|-|L|)-1|U|(E-

E(|D|-|L|)-1|U|)-1‖≤

‖E‖+‖E‖‖(|D|-|L|)-1‖×

‖|U|‖

1+‖(|D|-|L|)-1‖‖|U|‖×

所以

‖B(μ)-1‖≤

‖|D|-1‖

‖D(μ)-1‖.

由以上关系得

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖B(μ)-1‖‖(E-|L||D|-1)-1‖≤

下面关于μ的取值进行如下讨论：

当μ>1时有

‖〈A〉-1‖,

当0<μ<1时有

‖〈A〉-1‖

则

‖A-1‖

综上所述，定理得证.

3 数值算例

且由定义知A是Nekrasov矩阵，应用文献[13]中的估计式得‖A-1‖≤0.402 3，应用文献[14]中的估计式得‖A-1‖≤0.445 3；应用本文的结果，当μ=0.98时得

‖A-1‖≤0.397 6， ‖A-1‖≤0.389 1,

而其真值为‖A-1‖=0.330 8.

该数值算例说明，本文的估计式改进了现有的结果.

致谢 文山学院科学研究项目(16WSY11)对本文给予了资助，谨致谢意.

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[12] 赵建兴,桑彩丽. 严格α-对角占优M矩阵A的‖A-1‖的上界估计[J]. 数学的实践与认识,2015,45(19):280-284.

[13] LI C Q , PEI H, GAO A, et al. Improvements on the infinity norm bound for the inverse of Nekrasov matrices[J]. Numerical Algorithms,2016,71(3):613-630.

2010 MSC:15A15； 15A57

(编辑 余 毅)

Further Study on the Upper Bound of the Infinity Norm for the Inverse Matrix of the Nekrasov Matrix

LI Yanyan

(CollegeofMathematics,WenshanCollege,Wenshan663009,Yunnan)

By introducing the appropriate parameters, we construct the strictly diagonally dominant matrix. Further, by the relationship between the matrix and the Nekrasov matrix, two new upper bounds of the infinity norm of the inverse matrix of the Nekrasov matrix are obtained. Numerical example explain that, under certain circumstances, some of the existing results in the new territories have been raised, so this is a useful supplement to the existing literature.

Nekrasov matrices;Hmatrices; infinity norm; inverse matrices; upper bounds

2016-09-05

国家自然科学基金(11261049)和云南省科技厅应用基础研究项目(2013FD052)

李艳艳(1982—)，女，讲师，主要从事矩阵理论及其应用的研究，E-mail：529374583@qq.com.

O151.21

A

1001-8395(2017)04-0491-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.011