脉冲微分方程m-点边值问题的多重正解

李海艳, 王 敏, 李利玫

( 1. 四川大学 锦城学院, 四川 成都 611731; 2. 成都工业学院 人事处, 四川 成都 611730;3. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

脉冲微分方程m-点边值问题的多重正解

李海艳1, 王 敏2, 李利玫3

( 1. 四川大学 锦城学院, 四川 成都 611731; 2. 成都工业学院 人事处, 四川 成都 611730;3. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

利用锥上的不动点指数定理研究一类脉冲微分方程的多点边值问题,获得了该问题多重正解的存在性新结果.

不动点指数定理; 脉冲微分方程;m-点边值问题; 全连续; 正解

带有脉冲的微分方程边值问题主要描述了一些现象在某一瞬时时刻的突变过程,在人口动态、物理学、生物学、工程学、神经网络等学科有着广泛的应用[1-3].微分方程作为一个重要的分支有着大量的研究成果[4-17],其中脉冲微分方程在数学方面有着更加丰富的内容[11-17].

文献[11]研究了多点边值问题

其中,J=[0,1],f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,ai,bi∈(0,+∞),i=1,2,…,m-2,应用锥上的不动点定理获得了多个正解的存在性定理.

考察二阶脉冲微分方程的多点边值问题(BVP)

(1)

当φ=1,a=c=1,b=d=0时,边值问题将退化为文献[11]研究的方程.本文利用锥上的不动点指数定理研究了一类脉冲微分方程的多点边值问题,获得了该问题多重正解的存在性新结果.

1 预备知识及主要引理

‖x‖=max{‖x‖PC,‖x′‖PC}.

显然,PC[J,R]在‖·‖PC下构成一个Banach空间,PC1[J,R]在‖·‖下构成一个Banach空间.

1) 如果x∈∂Pr,有‖x‖≤‖Tx‖,则i(T,Pr,P)=0;

2) 如果x∈∂Pr,有‖x‖≥‖Tx‖,则i(T,Pr,P)=1.

本文假设：

(H1)f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+);

(H2) △≠0,ρ=ac+ad+bc,其中

定义 1.1x称为BVP(1)的一个解,若x∈PC[J,R+]∩C2(J′),x(t)>0,t∈J且x满足(1)式.

引理 1.2 假设(H1)和(H2)成立,那么,x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(1)的解,当且仅当x是脉冲积分方程(2)的解.

(2)

其中

证明 为了方便证明,先验证问题

(3)

的解满足的脉冲积分方程.

设x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(3)的解,对(3)式积分可得

(4)

再次对(4)式两端积分可得

(5)

在(4)和(5)式中分别令t=1有

(6)

(7)

由(6)和(7)式,再结合边值条件可得

将x′(0)和x(0)代入(5)式有

则

因此有

(8)

(9)

所以,由(8)和(9)式有

令

即可得方程(3)的解满足积分方程

故BVP(1)的解满足积分方程

反过来,假定x是脉冲微分方程(2)的解,当t≠tk时,对(2)式微分2次可得

易知

故x∈C2(J′),可以验证

引理得证.

引理 1.3 假设(H1)成立,并且满足

证明 由引理1.2,显然G(t,s)≥0,且

故x(t)≥0,t∈J.

注 1.1 由G(t,s)的定义有

注 1.2 对∀t∈Jθ,θ∈(0,1/2),Jθ=[θ,1-θ],s∈(0,1)有

其中

且0<σ<1.

注 1.3 对∀t,s∈Jθ,∃ε>0,使得G(t,s)≥ε.

建立PC1[0,1]上的空间K,K={x∈PC1[0,1]:x≥0,t∈J}.

定义算子T:K→K如下

(10)

引理 1.4 假设(H1)和(H2)成立,则T(K)⊂K,且T:K→K是全连续算子.

证明 对x∈K,由算子T的定义及引理1.3,有Tx≥0,Tx∈PC1[0,1],且

另一方面,由注1.2及0<σ<1有

所以,T(K)⊂K.此外由Ascoli-Arzela定理知T:K→K是全连续算子.

2 主要结论

为了方便,首先引入几个记号:

定理 2.1 假设(H1)～(H3)成立.此外,f、Ik满足下列条件：

(H6) 存在正数η>0,使得对任意x≥η,t∈J,有f(t,x)>l,其中l>0,

证明 令δ=εl(1-2θ)/η,k0=maxG(s,s),0

由(H4)可知,存在正数r满足0

其中

因此,对任意x∈∂Kr,由(10)式、注1.1和注1.2知

故对于任意x∈∂Kr,得‖Tx‖<‖x‖,由引理1.1有

(11)

由(H5)知,存在m>0,使得对任意的x>m,t∈J有

令

则

取

从而对任意x∈∂KR,由(10)式、注1.1和注1.2知

故对于任意x∈∂KR,得‖Tx‖<‖x‖,由引理1.1有

(12)

另外,对任意

由上面的推导可知

(13)

另一方面,由(11)～(13)式并结合不动点指数的可加性

和

定理得证.

[1] NENOV S. Impulsive controllability and optimization problems in population dynamics[J]. Nonlinear Analysis:TMA,1999,36(7):881-890.

[2] KELLEY W G, PETERSON A C. Difference Equations:an Introduction with Applications[M]. New York:Academic Press,1991.

[3] ELAYDI S N. An Introduction to Difference Equations[M]. New York:Springer-Verlag,1996.

[4] 李萍,舒级,张佳,等. 一个具有相互作用非线性项的分数阶微分方程组的爆破解[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(1):15-19.

[5] 涂馨予,蒲志林. 一类带一般记忆核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰减估计[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(1):20-25.

[6] 魏君,蒋达清,祖力. 一维p-Laplace二阶脉冲微分方程的奇异边值问题[J]. 应用数学学报,2013,36:414-430.

[7] 李耀红,张晓燕. Banach 空间中一类二阶非线性脉冲积分-微分方程边值问题解的存在性[J]. 应用数学,2011,24(1):112-119.

[8] 尚亚亚,李永祥. 二阶非线性积-微分方程边值问题解的存在性[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(6):833-837.

[9] 廖家锋,李红英,段誉. 一类奇异p-Laplacian方程正解的唯一性[J]. 西南大学学报(自然科学版),2016,38(6):45-49.

[10] 郭丽君. 非线性微分方程三阶三点边值问题一个正解的存在性[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(6):846-850.

[11] FENG M Q, XIE D X. Multiple positive solutions of multi-point boundary value problem for second-order impulsive differential equations[J]. J Comput Appl Math,2009,223(1):438-448.

[12] 田景霞. 无穷区间上二阶脉冲微分方程多点边值问题的正解[J]. 应用泛函分析学报,2012,4(3):315-320.

[13] SUN Y P. Positive solutions of nonlinear second-orderm-point boundary value problem[J]. Nonlinear Analysis,2005,61(7):1283-1294.

[14] TADEUSZ J. Positive solutions of three-point boundary value problems for second order impulsive differential equations with advanced arguments[J]. Appl Math Comput,2008,197(1):179-189.

[15] JIANG W H, GUO Y P. Multiple positive solutions for second-orderm-point boundary value problems[J]. J Math Anal Appl,2007,327(1):415-424.

[16] LIU X J, QIU J Q, GUO Y P. Three positive solutions for second-orderm-point boundary value problems[J]. Appl Math Comput,2004,156(3):733-742.

[17] JIANG W H. The existence of positive solutions for second-order multi-point BVPs with the first derivative[J]. Comput Math Appl,2009,225(2):387-392.

[18] GUO D J, LAKSHMIKANTHAM V. Nonlinear Problems in Abstract Cones[M]. New York:Academic Press Inc,1988.

[19] GUO D J, LAKSHMIKANTHAM V, LIU X Z. Nonlinear Integral Equations in Abstract Spaces[M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1996.

2010 MSC：35Q55

(编辑 李德华)

Multiple Positive Solutions tom-point Boundary Value Problem for a Class of Impulsive Differential Equations

LI Haiyan1, WANG Min2, LI Limei3

( 1.JinchengCollege,SichuanUniversity,Chengdu611731,Sichuan; 2.DepartmentofPersonnel,CollegeofChengduTechnological,Chengdu611730,Sichuan; 3.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Using the fixed point index theory, in this paper, we study them-point value problem for a class of impulsive differential equation. A new result for the existence of multiple positive solutions is given.

fixed point index theory; impulsive differential equation;m-point boundary value condition; completely continuous; positive solutions

2016-01-27

四川省教育厅自然科学青年基金(12ZB108)

李海艳(1983—),女,讲师,主要从事非线性泛函分析的研究,E-mail:jclihaiyan2012@163.com

O175.8

A

1001-8395(2017)04-0457-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.005