一类二维强耦合波动方程组经典解的生命跨度的下界研究

王虎生， 孙海霞, 杨 晗

(西南交通大学 数学学院， 四川 成都 611756)

一类二维强耦合波动方程组经典解的生命跨度的下界研究

王虎生， 孙海霞, 杨 晗*

(西南交通大学 数学学院， 四川 成都 611756)

考虑二维强耦合波动方程组的柯西问题，在初值较小且具有紧支集的前提下，通过半群的方法，得到方程组经典解的生命跨度下界估计，改进了前人已有的结果.

强耦合系统； 波动方程； 经典解； 生命跨度下界

本文考虑如下的二维波动方程组柯西问题

(1)

其中,ε是充分小正常数，f1、f2、g1、g2是一光滑函数，p1,p2,q1,q2>1.

先回顾一下相关的结论，对于所熟知的单个方程

utt-Δu=|u|p

(2)

的柯西问题有如下结论：当n≥2,在初值足够小且具有紧支集时，存在一个临界指p0(n)，当p>p0(n)时该方程存在整体解，1

当n=2时，R. Glassey[1]得到该猜想的爆破情形，R. Glassey[2]得到该猜想的整体解情形；当n=3时，F. John[3]同时得到该猜想的爆破和整体解的情形；当n≥4时，爆破结论的证明由T. Sideris[4]得到.关于该猜想的整体解：Zhou Y.[5]得到n=4的情形，H. Lindblad等[6]得到3≤n≤8的情形，并最终由V. Georgiev等[7]延拓到n>8的情形.

H. Kubo等[8]在n=2,3且初值满足某种条件的前提下，得知方程(2)经典解的生命跨度上界估计

(3)

二维波动方程组的研究则开始于20世纪90年代，对于弱耦合系统的方程组

(4)

的初值问题，有如下研究成果：

(5)

(6)

的初值问题的研究成果如下:

当n=1时，无论初值有多小，方程(2)的柯西问题的经典解总会爆破.

Zhou Y.[12]得到n=1时对于任意的p>1解的生命跨度T(ε)的上界和下界估计

(7)

(x,t)∈Rn×[0,T],m>0.

(8)

其中，p>1,φ(s)=slog(2+s),s≥0.

基于上述结果，本文也考虑在空间维数n=2时,在非线性项中引入加权项后讨论方程(8)的柯西问题，希望得到类似Strauss猜想的结论:存在一临界指数αm(2)，当α>αm(2)整体解存在，相反，解将在有限时间内爆破.同时，由于非线性项中引入了衰减的加权项，希望得到的结果比没有衰减加权项时要好;另一方面，加权的强耦合波动方程组在取特殊参数的前提下等价于单个的波动方程(8).由此，有必要研究强耦合波动方程组(1)的柯西问题的生命跨度.

定理 1 对初始条件作如下假设：

1) 具有紧支集，即存在R>0，有

supp(fj(x),gj(x))={x:|x|≤R}；

(9)

2) 存在正常数c，当

0<ε<1.

(10)

注 1 在初始条件满足(9)和(10)式的基础上，取m=0，验证了方程组(8)(或方程(2))经典解的相关结论.本文得到了相应的下界，文献[8]得到方程(2)解的上界估计.鉴于其形式上的一致性，进而形成了方程(2)经典解的门槛估计，即

1 预备知识

利用降维法和齐次化原理，方程组(1)柯西问题的解可记为

(11)

其中，u0、v0是二维齐次波动方程

(12)

的解，解的非齐次部分w1、w2的解的表达式分别为

(13)

(14)

其中，y=x+ρw,|w|=1,x,y,w∈R2.

引理 1 假设f1、f2、g1、g2满足(9)和(10)式，设u0、v0是齐次方程(12)的解，则有

证明过程参考文献[2].

引理 2 已知y=x+ρw,x,w∈R2,ρ为半径，|w|=1,λ=|y|,

(15)

证明 由λ=|y|得到

θ∈[0,π],则

那么

由于h(λ,ρ,r)=h(ρ,λ,r)，于是得到(15)式.

接下来，为了方便起，借助文献[10]引入如下记号

引理3 记(u,v)∈C2(R2×[0,T*(ε)))×C2(R2×[0,T*(ε)))为方程组(1)柯西问题的解，Bρ(x,t)是球心为(x,t)半径为ρ的球体，那么存在x0∈R2使得对于任意的ρ>0满足在Bρ(x0,t)∩(R2×[0,T*(ε)))里，|u(x,t)|或者|v(x,t)|无界.

证明过程类似文献[10]的定理2.2.

引理4 定义积分

Iz(r,t)=

z(λ,s)=(1+s+λ)1+k(1+|λ-s|)1+μ,

k∈R,μ∈R，那么有

Iz(r,t)≤CΦk(r,t)Ψμ(t+r)，

这里C为常数.

证明过程参考文献[10]的命题3.1.

2 建立方程组非齐次部分解的基本估计

首先，根据半群理论及压缩映射原理，易知方程组(1)局部解的存在性.引理1建立了方程组齐次部分解的估计，接下来需要建立方程组非齐次部分解的估计.

命题 1 如果k∈R,μ∈R,T>0,C为常数，对于(x,t)∈R2×[0,T)，有

(1+||y|-s|)1+μ|u|p1|v|q1},

(16)

(1+||y|-s|)1+μ|u|p2|v|q2}.

(17)

证明 根据(13)式得

其中

z(|y|,s)=(1+s+|y|)1+k(1+||y|-s|)1+μ，

S(s,z)=

根据引理2，令|y|=λ，那么

用Iz(r,t)定义如下积分

根据引理4得到(16)式，同理可得(17)式.

注意到

(18)

那么根据(18)式可知，对于(x,t)∈R2×[0,T)有

(19)

(20)

图 1 p1-q1 区域图

对于w1,w2∈C(R2×[0,T))，假设

w1≤2α+1MεαΦαm(r,t),

w2≤2α+1MεαΦαm(r,t)

(21)成立，接下来根据区域的划分按3种情况分类讨论.

命题 2 令w1,w2∈C(R2×[0,T)),k>0,μ∈R,m∈[0,1],存在ε0=ε0(p1,q1,p2,q2,m,n)，使得0<ε≤ε0，若α>αm(2)，那么有:

w1≤2αMεαΦαm(r,t),

(22)

w2≤2αMεαΦαm(r,t).

(23)

接下来，w1、w2满足(18)式，在假设(21)式成立的前提下，将其代入(19)和(20)式中，首先对(19)式右边4项分别进行估计.

(i) 估计(19)式右边第一项

CMαεαΦk(r,t)Ψμ(t+r)×

于是当满足CMα≤M时，得到

(24)

(ii) 接下来估计(19)式右边第二项

2(α+1)q1CMαεp1+αq1Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

2(α+1)q1CMαεp1+αq1Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

存在ε，当0<ε≤ε0，满足2(α+1)q1CMαεp1+αq1-α≤M时，得到

(25)

(iii) 接下来估计不等式(19)右边第三项

2(α+1)p1CMαεαp1+q1Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

2(α+1)p1CMαεαp1+q1Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

于是存在ε，当0<ε≤ε0，满足

2(α+1)p1CMαεαp1+q1-α≤M

时，得到

(26)

(iv) 接下来估计不等式(19)右边第四项

2(α+1)αCMαεα2Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

2(α+1)αCMαεα2Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

(1+||y|-s|)1+μΦαm(r,t)α}.

(1+||y|-s|)1+μΦαm(r,t)α}≤1.

于是存在ε，当0<ε≤ε0，满足2(α+1)α×AMαεα2-α≤M时，得到

(27)

最终，将(24)～(27)式代入到(19)式中，得到(22)式.类似地，对(20)式右侧的4项进行估计，可以得到(23)式.

命题3 令w1,w2∈C(R2×[0,T)),k>0,μ∈R,m∈[0,1],若α=αm(2)，存在一正常数M*，当εα2-α×(1+log(1+T))≤M*，则存在正常数ε0=ε0(p1,q1,p2,q2,m,M,R)，对任意的ε，当0<ε≤ε0时,有:

w1≤2αMεαΦαm(r,t),

(28)

w2≤2αMεαΦαm(r,t).

(29)

证明 首先，由于α=αm(2)，选择如下区域{(p1,q1)|{p1>1}∩{q1>1}∩{data 3}}(p2-q2曲线与之一样)，显然

w1、w2满足(18)式，在假设(21)式成立的前提下，将其代入(19)和(20)式中，其中对(19)式右边前3项与命题2类似，接下来对最后一项进行估计，

2(α+1)αCMαεα2Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

2(α+1)αCMαεα2Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

(1+||y|-s|)1+μΦαm(r,t)α}.

(1+||y|-s|)1+μΦαm(r,t)α}≤1.

于是存在ε，当0<ε≤ε0，满足2(α+1)αCMαεα2-α(1+log(1+T))≤M时.换言之，存在与ε无关的常数M*，当εα2-α(1+log(1+T))≤M*，得到

(30)

将(19)式右边前3项及(30)式的估计代入(19)式得到(28)式，同理可以得到(29)式.

命题 4 令w1,w2∈C(R2×[0,T)),k>0,μ∈R,m∈[0,1],若α<αm(2)，存在正常数M*，使得εα2-α(1+T)-N(α,m)≤M*，那么存在正常数ε0=ε0(p1,q1,p2,q2,m,M,R)，对任意的ε，使得0<ε≤ε0,有:

w1≤2αMεαΦαm(r,t),

(31)

w2≤2αMεαΦαm(r,t).

(32)

证明 由于α<αm(2)，选择区域

{(p,q)|{p>1}∩{q>1}∩{areaE}}

(p2-q2曲线与之一样)，易知

w1、w2满足(18)式，在假设(21)式成立的前提下，将其代入(19)和(20)式中，其中对(19)式右边前3项与命题2类似，接下来对最后一项进行估计，

2(α+1)αCMαεα2Φk(r,t)Ψμ(t+r)

(1+||y|-s|)1+μw1p1w2q1}≤

2(α+1)αCMαεα2Φk(r,t)Ψμ(t+r)×

(1+||y|-s|)1+μΦαm(r,t)α}.

(1+||y|-s|)1+μΦαm(r,t)α}≤1.

于是存在ε，当0<ε≤ε0，满足

2(α+1)αCMαεα2-α(1+T)-N(α,m)≤M

时，换言之，存在与ε无关的常数M*，当

εα2-α(1+T)-N(α,m)≤M*，

得到

(33)

将(19)式右边前3项及(33)式的估计代入(19)式得到(31)式，同理可以得到(32)式.

3 建立方程组非齐次部分解的先验估计

本文目标是获得w1、w2的上界，那么当(x,t)∈R2×[0,T)，在满足先验假设(21)式成立的前提下，进而可知(u,v)的解存在，定义T0(ε)为所有满足如上T的上确界.

当|x|≥t+R时，u(x,t)=v(x,t)=0,那么

(34)

接下来，分3种情况讨论：

1) 当α>αm(2)时，假设T*(ε)<∞，在(34)式成立的前提下，得到

|u(x,t)|=|u0(x,t)|+|w1(x,t)|≤

|v(x,t)|=|v0(x,t)|+|w2(x,t)|≤

根据引理3可以得到T0(ε)≤T*(ε).根据T0(ε)的定义，可以得知存在x0∈R2使得

|w1(x,t)|≥2α+1MεαΦαm(r,t),

t∈[T0(ε),T*(ε)).

(35)

另一方面，从命题2得知|w1(x,t)|≤2pMεpΦp(r,t)，进而可以得到矛盾，于是得到T*(ε)=∞.

2) 当α=αm(2)时，(α<αm(2)的情形与之类似)根据命题3，知道存在一正常数M*，当

εα2-α(1+log(1+T))≤M*

(36)

时，对于(x,t)∈R2×[0,T)时，有

w1≤2αMεαΦαm(r,t),

(37)

w2≤2αMεαΦαm(r,t).

(38)

考虑(36)式，求解得到

T1(ε)=exp(M*ε-α(α-1)-1)-1.

假设T0(ε)

于是(u(x,t),v(x,t))有界，根据引理3，知道

T0(ε)

更进一步，根据(28)和(29)式，得到一个比假设(21)式更窄的估计，这是一个矛盾，于是可知

T0(ε)≥T1(ε).

最终得到定理1中的α=αm(2)情形.

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2010 MSC： 35L05; 35L70

(编辑 陶志宁)

The Lower Bounds of the Life Span for the Classical Solutionsfor a System of the Strong Coupled Wave Equations in Two Space Dimension

WANG Husheng, SUN Haixia, YANG Han

(SchoolofMathematics,SouthwestJiaotongUnivesity,Chengdu611756,Sichuan)

In this paper, we consider the Cauchy problem for a system of strong coupled wave equations. Under the assumption of small initial data with compact supportset, using the semigroup method we study the lower bounds of the life span of the solutions and promote the relative known results.

strong coupled system; wave equations; classical solution; lower bounds of the life span

2016-08-25

国家自然科学基金(71572156)

O175.6

A

1001-8395(2017)04-0442-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.003

*通信作者简介：杨 晗(1969—)，男，教授，主要从事偏微分方程的研究,E-mail: hanyang 95@263.net