微分中值定理的学习技巧

李小娟

摘要：基于当代大学生在高等数学的学习上存在学习困难的现象较为普遍，而学校给出的课时数又相对较少的问题，本文提出了两点建议：一、及时利用新知识巩固旧知识，如利用学习不定积分复习巩固导数；二、在教学方法上强调思想和解题技巧的统一，使复杂问题简单化，如学习微分中值定理时，基本都是围绕一条主线：从结论出发，利用不定积分凑出辅助函数，验证辅助函数符合罗尔定理三个条件，最后利用罗尔定理直接得出结论。

关键词：微分；中值定理；学习技巧

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）37-0223-02

当代大学生在高等数学的学习上存在学习困难的现象较为普遍，个别专业学生在期末考试中不及格率偏高，在补考和重修中仍没有太大改观.学生在学习上表现与高等数学的教学要求及教学目标相去甚远，未达到基本学习要求.在与学生的交谈中可以了解到学生在高等数学的学习过程中摸不到头绪，无法掌握有效的学习方法，主要靠对公式、例题和作业题死记硬背应付考试.而在整个微积分的教学过程中，微分中值定理不仅是重点，而且是难点.鉴于以上现象，我在授课的过程中会更加注重思想的统一、解题技巧的应用，这样，不仅让学生能容易理解定理的证明，更能从头开始让学生掌握做题的技巧，使得复杂问题简单化，这对非数学专业的学生非常重要.

在微分中值定理的学习过程中，最主要的思想就是构造辅助函数，利用下面的罗尔定理来证明.

（罗尔定理）如果函数y=f（x）满足条件：

（1）在闭区间[a，b]上连续，

（2）在开区间（a，b）上可导，

（3）在区间两个端点上的函数值相等，

即f（a）=f（b），

则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

但是利用一般思想来构造辅助函数的过程是很复杂的，下面我们主要讲述不定积分在构造辅助函数过程中的重要性.

一、利用辅助函数巧证拉格朗日定理

设函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续，

（2）在开区间（a，b）上可导，

那么就需要找一个符合罗尔定理条件的函数F（x）满足下面两个条件：

即可说明拉格朗日定理是成立的.

而对（i）两边求不定积分可得：

因C是任意常数，不妨设C=0，即设

很容易验证函数F（x）是符合罗尔定理三个条件的，所以由罗尔定理可得条件（ii）成立，定理得证.

二、利用辅助函数巧证柯西定理

设函数f（x）和g（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续，

（2）在开区间（a，b）上可导，

（3）在（a，b）内任何一点处g′（x）都不等于0，

则至少存在一点ξ∈（a，b），使得：

分析：要想证明

即证

[f（b）-f（a）]g′（ξ）-[g（b）-g（a）]f′（ξ）=0，那么就需要找一个符合罗尔定理条件的函数F（x）满足下面两个条件：

（i）F′（x）=[f（b）-f（a）]g′（x）

-[g（b）-g（a）]f′（x），

（ii）F′（ξ）=0，

即可说明拉格朗日定理是成立的.

而对（i）两边求分部积分可得：

F（x）=[f（b）-f（a）]g（x）

-[g（b）-g（a）]f（x）+C.

因C是任意常数，不妨设C=0，即设

F（x）=[f（b）-f（a）]g（x）-[g（b）-g（a）]f（x）.

很容易验证函数F（x）是符合罗尔定理三个条件的，所以由罗尔定理可得条件（ii）成立，定理得证.

参考文献：

[1]陈玉.积分第一中值定理的推廣[J].江西科学，2014，（02）.

[2]陈玉.基于微分中值定理的积分中值定理[J]. 高等数学研究，2013，（06）.

[3]伍建华，孙霞林，熊德之.一类积分型中值定理的渐近性讨论[J].西南师范大学学报：自然科学版，2012，（08）.endprint