初中数学勾股定理的解题研究

廖铭

【摘要】笔者结合多年的教学实践，参考了多方面的教学案例，对初中数学中的“勾股定理”应用从最常见的求最短线路长度、求角度、证明分析三个题型中进行了大致的探究.

【关键词】勾股定理；应用；初中数学

在中国，勾股定理作为一个最基本的几何定理，它的起源可以追溯到商代，可见勾股定理历史源远流长.在初中数学的教学过程中，但凡是涉及直角三角形的计算证明问题，最常用的便是勾股定理，勾股定理的难易程度并没有超越大部分初中生的理解范围，因此，学生往往能较好地掌握.除却教学上的需要，勾股定理问题也和我们的现实生活息息相关.

一、利用勾股定理如何求解几何体的最短线路长

针对这个问题先举一个例子.现在有一个三级台阶，它每一级的长、宽和高分别等于5厘米、3厘米、1厘米，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃美味的实物.请想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

首先大家可以看到这道题并没有形象的图形，因此，就需要我们在解题之前在草稿本上或在脑海中根据文字所述勾勒出一幅简单的图形.

据文中所述，A和B台阶是两个相对的端点，蚂蚁从A出发爬到B点可知，这只蚂蚁的路线和台阶刚好形成了一个直角三角形.

结合上文所述，AC已知长度是5厘米，BC根据文中“有一个三级台阶，它每一级的长、宽和高分别等于5厘米、3厘米、1厘米”的描述，在BC长度的计算上，得出（3+1）×3=12，算出BC间的长度为12厘米（由于我们将三级台阶设想成了一个平面图形，因此，立体性的台阶其1厘米的高度，可以归为每层台阶的宽度进行计算3+1=4，由于有三层台阶，因此需要4×3=12）.

AC和BC的长度已知，因此，AB的平方该等于169，将169进行开方得出AB等于13的结果，而13也正是蚂蚁从B到A出发的最短线路长度.

二、利用勾股定理如何求角度

三、有关勾股定理的证明分析题探究

勾股定理公式既不复杂也不难以理解.真正困扰的学生的是一些针对勾股定理的证明分析题，这样的题型由于解题过程偏向“探索性”，过程较为开放，学生在有很大空间调动思维的同时也很难辨析怎样做是合理的，怎样做又是缺乏合理性的，以下我们就来举一个有关勾股定理的证明分析题.

题目：等腰直角三角形有上述勾股定理的性质，其他直角三角形也有这种性质吗？下图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积，看看能得出什么结论.（提示：以斜边为边长的正方形面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积）

由于證明分析题意在开阔学生局限性的数学思维，以上运用到的是对初中生而言难以理解，但解题步骤却极其巧妙的“赵爽弦图”.

四、结束语

勾股定理是初中生数学问题中最常见的数学定理，它带给数学教学工作者以及学生有关解答数学问题方面的启示.数学虽然是抽象的学科，但“数学定理”却可以有效地做到将抽象的东西具象化.笔者从求直角三角形斜边长度、求三角形度数、直角三角形证明分析三个普遍而又具备勾股定理求解典型性的问题进行阐述，希望可以使这方面的解题更加清楚.endprint