利用刚体转动惯量实验仪测量地球重力加速度

王翘楚 王 畅 肖云桓 刘 伟 史庆藩

(北京理工大学物理实验中心，北京 100081)

利用刚体转动惯量实验仪测量地球重力加速度

王翘楚 王 畅 肖云桓 刘 伟 史庆藩

(北京理工大学物理实验中心，北京 100081)

本文介绍一种测量地球重力加速度的新方法，即圆柱形容器中的水在绕竖直中心轴匀速旋转时，水面会形成一个抛物面[1]，该抛物面的焦距与重力加速度和旋转周期有关。利用该性质并结合大学实验室中常见的刚体转动惯量实验仪，通过测量抛物面的焦距与旋转周期即可得出重力加速度的数值。此方法避免了传统的单摆实验中摆线质量、空气阻力、圆锥摆等影响因素[2]，使得测量精度增加。此方法适用于大学物理实验教学，可激发学生对实验的兴趣，且具有一定的观赏性。

重力加速度；刚体转动惯量实验仪；水；抛物面

1 引论

重力加速度是地球的基本参数之一，不仅与我们的日常生活息息相关，更是一切测量与实验的基础。在航空航天、工程技术、机械制造等领域，精确测量重力加速度尤为重要。重力加速度的测量方法有很多，如单摆法、自由落体法、称挂法等。其中单摆法最为常见，通过测量单摆长度和摆动周期得出重力加速度。然而这种方法在测量摆长时，精确测量悬挂点到重心的距离较为困难；在原理上取sinθ≈θ[2]且假设地球表面为无限大平面，忽略了地球半径的有限性[3]，因此该方法存在一定误差。而自由落体法忽略了空气阻力等因素，一定程度上也增大了误差；称挂法尽管操作简便但是读数上不够精确。本文采用一种新的方法测量重力加速度，水在绕垂直于水面的轴匀速旋转时因向心力会形成抛物面[1]，该抛物面焦距与重力加速度与旋转周期有关，通过测量焦距及旋转周期可计算出重力加速度数值。此方法利用了大学实验室中常见的刚体转动惯量实验仪，根据皮带传动原理，将电机与实验仪绕线轮通过动力线相连，电机转动带动承物台旋转，并可通过改变绕线轮大小或电机转速来实现多次测量[4]。

2 实验系统

实验系统包括：刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计、电机及其控制盒、激光瞄准器、竖直游标卡尺等。

实验装置如图1所示。

图1 测量重力加速度实验装置示意图

低速电机与实验仪绕线轮由动力线圈相连，根据皮带传动原理，动力线将动力传至实验仪，从而使承物台旋转。电机控制盒有调速旋钮，可改变电机转速(0～120r/min)。两竖直激光瞄准器与光屏固定在支架上，光屏可沿竖直杆上下移动。光电门连接通用电脑式毫秒计，可记录实验台旋转半周所用时间[4]。竖直游标卡尺的游标上固定一水平激光瞄准器(图中未画出)。可通过游标卡尺读出激光瞄准器照射物体的相对高度。竖直游标卡尺放置于实验仪右侧。

3 测量原理

对绕中心轴做匀角速度为ω的水槽中的水滴做受力分析：

(1)

Nsinθ=mg

(2)

式(1)与式(2)联立得

(3)

将上式变形后积分，即

弧线为抛物线(如图2)，即水面最终形成抛物面。

图2 水滴受力分析图

抛物面焦距为

(4)

(5)

如图3所示，两条平行于y轴的光线照射到抛物面，经反射会会聚于抛物面焦点。用光屏找到该会聚点，量出光屏到水面最低点的距离，即为抛物面焦距R，用通用电脑式毫秒计计算出旋转周期T，代入式(5)中可得到地球重力加速度g。

图3 测量原理示意图

4 实验步骤

(1) 组装实验装置。选择合适的绕线轮，使电机同步轮与绕线轮处于同一水平位置，将动力线绕于绕线轮及同步轮上并使线处于绷紧状态。在水槽中盛适量水，在水面上撒一点粉笔末以便观察光路。将水槽放置在承物台上，水槽中心与实验仪中心重合。

(2) 按下3个激光瞄准器开关，调节两竖直激光瞄准器光线垂直于静止水面，水平激光瞄准器光线与静止水面平行，移动竖直尺架使水平光线与实验仪轴线相交。

(3) 打开电机开关，转动调速器旋钮调整转速。待水面稳定后，按下毫秒计复位键。拧松固定光屏的螺丝，上下移动光屏，使光屏上的两个激光点重合，拧紧螺丝。

(4) 拧松竖直尺游标螺丝，上下移动游标使光路通过光屏上激光点，拧紧螺丝，记下此时的竖直尺读数y1。

(5) 拧松游标螺丝，向下移动游标，直到看到水中有一道微弱的光路，此时激光笔照射到水面最低点，拧紧螺丝，记下此时的竖直尺读数y2。

(7) 转动调速器旋钮或改变绕线轮以改变转速，重复上述步骤。

5 实验结果与分析

我们对8个周期值进行了焦距的测量，每一个周期值测量6次焦距，取平均值即为本周期对应的焦距值。同时我们也用了传统的单摆法进行测量，取8个摆长值，每个摆长值测量6次摆动周期，取平均值即为该摆长所对应的周期值。用Origin软件对数据进行线性回归分析，得到图4。其中右下角的小图为单摆法数据对应的图线。

用刚体转动惯量实验仪测量重力加速度的实验中，由数据得：

测量结果：g=9.811(0.008)(m·s-2)

用单摆法测量重力加速度的实验中，由数据得：

测量结果：g=9.93(0.06)(m·s-2)

图4 线性回归分析图

本地纬度为39.729°，计算得重力加速度为9.8012(m·s-2)，本文所用方法测得的重力加速度值相对误差为0.102%，单摆法测得的重力加速度值相对误差为1.31%，可见本文所用方法相比于传统的单摆法测量数据更为精确。尽管重力加速度的准确数值随着时间的推移在不断改变，但从数值和不确定度两方面来看，本文所用方法仍比单摆法更为准确。

经分析，我们认为本文所用方法误差产生的原因如下：电机固定在桌边，电机转动会使桌面有微小的振动，使得激光在光屏上的反射点晃动，不能形成一个稳定的光点而是一条短光线，因此在确定光屏位置时取两短线中点重合时的位置，可能会产生一定误差。

6 结语

本文采用了一种新的方法，利用刚体转动惯量实验仪测量地球重力加速度。传统的单摆法测量重力加速度时，摆长的精确测量有一定困难，本文单摆实验中所得数据偏大，可能是由于重物重心位置不为其几何中心造成，导致摆长的测量误差大大增加；其次，单摆并不在同一平面内摆动，极易形成圆锥摆，摆线易与测量周期所用的光电门碰触，对摆动造成干扰；另外，原理上取sinθ≈θ[2]，这些都在一定程度上增大了误差。本实验所述方法易于操作，外界干扰及不确定因素较小，采用了准确的公式推导，避免了测量原理上的误差，使得测量精度大大提高。且本实验具有较高的观赏性，将重力加速度表现在抛物面形的水面上，不失为一种测量重力加速度的好方法。

[1] 姜兴东, 王振坤. 测量重力加速度和转速的旋转液体实验仪的设计[J]. 高校实验室工作研究, 2016(1): 161-162. Jiang Xingdong, Wang Zhenkun. The design of rotational liquid apparatus to measure the gravitational acceleration and rotate speed[J]. Research of College Laboratory, 2016(1): 161-162. (in Chinese)

[2] 游艳琳, 熊建文. 单摆测重力加速度实验近似处理的误差分析[J]. 物理通报, 2013(5): 92-95. You Yanlin, Xiong Jianwen.The error analysis of the approximate treatment in the pendulum experiment[J]. Physics Bulletin, 2013(5): 92-95. (in Chinese)

[3] 管习文, 韦联福. 单摆周期与地球半径[J]. 四川师范大学学报(自然科学版), 1991(4): 133-134. Guan Xiwen, Wei Lianfu. The period of a simple pendulum and the radius of the earth[J].Journal of Sichuan Normal University(Natural Science), 1991(4): 133-134. (in Chinese)

[4] 史庆藩, 王荣瑶, 李林. 英汉大学物理实验[M]. 北京: 兵器工业出版社, 2008.

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THE MEASUREMENT OF GRAVITATIONAL ACCELERATION USING THE MOMENT OF INERTIA APPARATUS

Wang Qiaochu Wang Chang Xiao Yunhuan Liu Wei Shi Qingfan

(Center of Physics Experiments, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081)

This paper introduces a new method to measure the gravitational acceleration. When a cylinder containing water rotates around its vertical central axis at a constant speed, the surface of water will form a paraboloid whose focal length is related to the gravitational acceleration and the rotational period. According to this phenomenon combined with the use of the moment of inertia apparatus, which is common in college laboratory, we can work out the gravitational acceleration by measuring the focal length and rotational period. In this way, the influence factors in the traditional pendulum experiment such as the mass of the rope, air resistance, conical pendulum, etc., can be avoided, which increases the accuracy of measurement. This method is applicable for college physics teaching, because it can increase students’ interest in experiments and has certain ornamental value.

gravitational acceleration; the moment of inertia apparatus; water; paraboloid

2017-01-21

教育部高等学校大学物理课程教指委教学研究立项项目(编号：DWJZW201409hb)。

王翘楚，王畅，肖云桓，北京理工大学物理学院2015级本科生。

王翘楚，王畅，肖云桓，等. 利用刚体转动惯量实验仪测量地球重力加速度[J]. 物理与工程，2017，27(5)：40-43.