刘君
阳光总在风雨后,请相信有彩虹,为什么只有在风雨后的明媚阳光下才有可能看见美丽的彩虹呢?大家都知道彩虹的出现与光是息息相关的,而法国数学家费尔马在研究光线的反射和折射后得出结论:自然界总是通过最短的途径发生作用的,叫“最小作用量原理”,而他的本质就是数学中的函数最值。
今天我们就利用数学建模的思想和方法,借助于最值的知识解释这为什么雨后晴天才有可能看见彩虹?首先我们一起来分析彩虹的成因。古时候总有神迹等迷信的说法,现在看来可笑之极。其实我国有些古人就很注重观察自然现象,对彩虹有了科学的解释。沈括在在《梦溪笔谈》中说:“虹,日中雨影也。日照雨,则有之。唐代张志和《玄真子》中说道:“背日喷乎水,成虹霓之状。”可见,彩虹是由于阳光射到空中的水滴里,发生反射与折射造成的。
一般雨后空气中含有一定的水蒸汽,由大量的水滴组成,当太阳光照在水滴表面,会发生光的折射和反射现象,而彩虹是光经过折射,反射,再折射的这条光路造成的,物理上把射入水滴的太阳光叫做入射光线,在小水滴里经过反射和折射出的光线叫出射光线。其实大家在高中时学习物理知识都知道,每一次反射和折射都是相伴发生的,因此这个过程伴随能量的损失,而达到观察者眼中的只有走这条路径的光线,只是光线的一部分。
有的同学会问“为什么彩虹一般都出现在夏天呢?”那是因为夏天气温高,雨后空气中含有一定量的小水滴,而冬天气温较低,在空中不容易存在小水滴,下阵雨的机会也少。所以出现彩虹的最好气候是夏天雨后的晴天。好,有了这些气候条件是不是就一定能看见彩虹了呢?不是吧,不是每个夏天雨后的晴天都能看见彩虹,这就还要看太阳,水蒸气云,与人三者的相对位置,因此关键要看光线由入射到出射是怎样偏离的。为了简化我们假设空气中的小水滴为球型。取一束光线进行光路分析,延长入射光线和反向延长出射光线,人眼看见的便是这个虚像点,看起来,像是光线被人为的折断变向一样,发生了偏离,这个入射光线和出射光线之间的夹角称为偏离角D。
太阳光是一束平行光线,射到水滴表面,我们只考虑上表面的光线,下表面的光线对称出射到空中,人不可能接受到。由于入射情况各有不同,产生的偏离情况也不同。那到底我们接受到那个角度的光线最可能看到彩虹呢?查阅资料可知,当某一波长的入射光线具有某一入射角时,出射光线的偏离角具有最小值,意味着,这个方向的出射光线最强,最容易看到明显的彩虹。此因我们想找到最佳的观测位置,本质上就是要找出偏离角关于入射角的函数,并讨论其最小值问题。
通过以上分析下面我们进行模型假设,假设气候条件是夏天雨后的晴天,空气中的小水滴假设是球型,并假设α是入射角,β折射角,D为偏离角是关于α、β的函数。建立数学模型,当一束光以入射角α到达水滴表面A时,将有一部分光发生折射,形成折射角β,光线到达B以后有有一部分光反射,到内壁的第三个点C处,有一部分光再次发生折射。在整个过程中,水滴的入射光和最后的出射光形成了偏离角,它是由α、β决定的。下面我们利用几何知识求出偏离角D关于α、β的函数,延长这条折射光线AB交EC于点F,构成三角形AEF,偏离角D是这个三角形的一个外交,由定理三角形一外交等于与它不相邻两内角和,所以,再看三角形CBF,这个角EFA又是S的一个外交,所以角,将角EFA带入上式,偏离角D等于这三个角的和。而角EAF它等于α-β,因为角EFO与入射角α是对顶角,对顶角相等,所以角EAF它等于α-β,根据对称性,角BCF等于角EAF都等于α-β。,所以偏离角D就等于化简偏离角,大家注意这里入射角和出射角有限制,是介于0到.。这里有两个未知数α、β,我们来寻找这两者间有什么关系呢?由光的折射定律,折射率是等于入射角和折射角正弦的比值,所以,將β代入偏离角函数,这样就找到了偏离角D关于入射角α的函数。通过前面的分析大家知道看见彩虹的时机,就是偏离角取最小值的时候,这样实践问题就转化为求这个函数的最小值问题了。进行模型求解,通过模型分析大家知道了就是要求这个函数的最小值,按照上节课总结的解题步骤,首先要确定自变量的取值范围,然后对函数求导,求出导函数,观察导函数没有不可导点,只需要令导数等于0,求驻点,大家不妨计算一下,得到0到区间内唯一的驻点这唯一的驻点是不是最小值点呢?这里有个特殊情况,在实际问题中,如果可导函数在区间内必有最大(小)值且函数在区间内只有唯一的驻点,则此驻点就是要求的最值点。最后得出结论偏离角的最小值点为。观察最小值点,发现里面含有系数K,对他是折射率,通过资料查阅可以得到空气与水的相对折射率是三分之4,代入计算的出α=59.4度,将最小值点代入原函数,得到偏离角最小值约为138度。
也就是说,当入射光和出射光形成的偏离角为138度时,最容易看见彩虹。为了更直观的解释,这里我们引入一个彩虹角,也就是当太阳光与地面水平时,观看彩虹的仰角。显然彩虹角等于偏离角的补角,这个彩虹角就是42度,这样可以更形象的解释,当太阳光线和人的视线夹角为彩虹角42度时,才可以看见彩虹。那为什么我们看见的彩虹是7彩的呢?
这是因为刚才是以白光的平均折射率得到的结果,其实太阳光本身含有不同频率的色光,不同频率的色光对于同一个介质的折射率并不相同,因此太阳光通过水滴时,不同颜色的光因折射率不相同而形成色散。
由于白光是由红,橙、黄、绿、青、蓝、紫7色组成,其中红光的折射率最小,紫色的折射率最大,其它5中颜色的折射率按照这个顺序介于两者之间。如果分别把这7种光的折射率代入刚才的模型,可以求出7中光的彩虹角各不相同,红光的为42.3,紫光的为40.6,其它的介于两者之间,这就是为什么我们看见的彩虹分为红,橙、黄、绿、青、蓝、紫顺序排列的原因。
同学们,是不是很神奇呢?最值在生活中无处不在,今天这个实例是最值在物理中的应用,其实最值还可以应用在生产中用料最省、经济学中利益最大、成本最低等等等等。无论什么类型的最值问题其实解决过程都可以简洁的概括为两点:1、将实际问题转化为数学模型;2、用合理的数学知识对模型进行求解并解释现象。同学们知道了彩虹的成因,那我问问大家知不知道霓极其霓的成因呢?有兴趣的同学可以课下查阅相关资料,用数学知识去深入了解它吧。endprint