小议直觉与无穷大

杨新宇

直觉凭借直观感觉进行判断、下结论，借助于感觉的可信性进行思考。无限就是没有尽头，无限具有无穷的魅力。与无限有关的问题，经常吸引着人们，让人们辗转反侧，又经常让人困惑不已，就是经常违反你的“直觉”，遇到无限，直觉经常失效。用三个问题进行说明。

直觉无穷大自然数直觉凭借直观感觉进行判断、下结论，借助于感觉的可信性进行思考。利用直觉确实可提出新命题，引出新观点。直觉使人的认识出现了创造性，使人扩大了知识的空间。

无限就是没有尽头。比如，自然数的个数是无穷无尽的，对一个人来说，无论他的寿命有多长，都不可能把所有的自然数数完，理由很简单，当他数到第n个数，都有第n+1个数等着他来数。

面对“所有的自然数”，有人认为“所有的自然数”不存在，因为你无法数完，数的过程是无穷无尽，只有这个过程结束，才能得到所有的自然数，这是“潜无限”的观点；有人认为“所有的自然数”存在，因为每个自然数都可数到，所以每个自然数都存在，这是“实无限”的观点。

无限具有无穷的魅力。希尔伯特曾说过：“从来就没有任何问题能像无限那样深深地触动人们的情感，没有任何观念能像无限那样，曾经如此卓有成就地激励着人们的理智，也没有任何概念像无限那样，如此迫切地需要澄清。”与无限有关的问题，经常吸引着人们，让人们辗转反侧，又经常让人困惑不已，就是经常违反你的“直觉”，遇到无限，直觉经常失效。下面用三个问题来说明。

一、伽利略问题

伽利略认为，自然数的全体是实实在在的存在，构成实无穷，全体完全平方数也构成实无穷。现在的问题是，自然数多还是完全平方数多呢？

直观上看，自然数多，为什么呢？完全平方数也是自然数，部分不大于整体，所以自然数多，也有人这样认为，都是无穷多，所以两者的个数一样多。还有人进行简单地推理，在前10个数中，只有1、4、9三个；在前100个数中，完全平方数只有10个，占自然数的10%；在前10000个数中，完全平方数有100个，只占1%；在前一亿个数中，完全平方数占的更少，只占0.01%.这么看，完全平方数在自然数中，沧海一粟，占的分量极少，也就说明自然数多。但问题是都是无限个，就不能利用有限个数多少的方式去比较。我们得换个角度看，有一个自然数就有一个完全平方数。

把所有的自然数排成一排，每个自然数“肩膀”上添个2，便是完全平方数。这样看，自然数和完全平方数一样多。那就是部分和整体一样多（确实！），也可以说无限集可以和其真子集之间建立一一对应关系（这就是无限集合的本质）。

二、神奇的希尔伯特旅馆

现实中的旅馆都只有有限个房间，请你展开想象的翅膀，假设有这样一家旅馆，有无限个房间（这是实无穷，要想清楚）。这样的旅馆客满后又来了1个客人，老板能否安排？规定：每一个房间只住一个客人。所谓客满，就是每一个房间都有人住了。

按照我们的生活经验，直观感觉，客满后再来客人，只好让他去别家住宿。但拥有“无穷房间”的旅馆就是神奇，老板神气地说：“可以安排。”

老板的“操作”是：先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住……让k号房间的客人搬到k+l号房间去住，以此类推.这样，原来的客人就都有房间住了，而1号房间却空了出来，这样就可以让新客人去住。

那如果来了1000个客人，聪明的同学，你能安排吗？如果来了一个旅游团，有无穷多个客人，这时你还能安排吗？

三、莱布尼兹问题

有限项求和，按照运算法则进行即可，可当变成无限项时，我们就会遇到麻烦。如莱布尼兹问题：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…，1与-1交替出现，有无穷项，上式的和为多少？

如果你按照有限项的运算进行，结果有多种情况：

第一种情况：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+…=0：

第二种情况：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…-1+（-1+1）+（-1+1）+…=1：

第三种情况：我们可以令S=1-1+11+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-1+1-1+…）-1-S，则可求得S=1/2，针对结果1/2，我们甚至可用一个实例来解释，一个老头有两个儿子，去世时只留下一头耕牛，遗言交待两儿子不能杀掉耕牛，殺掉后就没法耕种。采用的方案是：第一年耕牛在老大家，第二年在老二家，第三年再到老大家，第四年再到老二家，……，依次轮流。我们可以认为，老大和老二都只拥有这头耕牛的1/2。

上面的三种解释，看似各有各的道理，但其实都是不正确的，因为这是无限项求和的问题，不能随便地添加括号，这个式子是无法求和的。

直觉是个强有力的工具，可发现问题，给出猜想，无穷是神秘的王国，充满着奇异的神奇。当直觉遇上无穷大，我们得到的想法或者结论，需要进一步的逻辑思索，不然会很“尴尬”的。endprint