简析特殊的二元二次方程组的解法

查如琴

摘 要：虽然我们都知道解二元二次方程组的基本思路是消元或降次，但当我们拿到一个二元二次方程组时，往往由于方程中项数太多而无从下手，本文从如何观察特殊的二元二次方程组的特点入手，寻找相应的解法。

关键词：二元二次方程组 代入消元法

中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）09-0026-02

对于一般的二元二次方程组：

A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同时为零） ①A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中D 、E 不同时为零） ②

其解法通常先消去其中一个平方项（将①×C2- ②×C1消去 y2项），再用代入消元法得到一个一元四次方程，最后用费拉里求根公式（计算量大，公式复杂）解得其4个根，从而得到方程组最多4组解。对于具有某些特点的二元二次方程组，我们通过具体的例子来分析其特点及解法。

1 第I型的二元二次方程组

第I型的二元二次方程组特点为两个方程中有一个是一元一次方程，即：

A x+B y+C =0 （其中A 、B 不同时为零） ③A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同时为零） ④

它的一般解法为由③解出x（或y）的表达式，代入④消去x（或y），用代入消元法得到一个一元二次方程，最后用求根公式解得其2个根，从而得到方程组最多2组解。

2 第II型的二元二次方程组

第II型的二元二次方程组特点为两个方程都是二元二次方程，即：

A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同时为零） ⑤A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同时为零） ⑥

对于第II型的二元二次方程组，根据其特点，我们分5种情形分析讨论：

（1）可以消去二次项；（例如1题）

（2）可以消去一个未知数；（例如2题）

（3）方程组中至少有一个能分解因式；（例如3题）

（4）可以消去常数项；（例如4题）

（5）可用代入消元法。（例如5题）

1题： y2+x-3y=4 ① y2-3x+y=0 ②

解：由于两个方程中只含y2的二次项，不含xy、x2这样的二次项，所以考虑消去y2项，再代入消元，最终求得原方程组的解为：

x1=0y1=-1 x2=4y2=3

也可以考虑消去x项，直接得到关于y的一元二次方程，解得y1=-1，y2=3，最终也求得原方程组的解为：

x1=0y1=-1 x2=4y2=3

2题： 2x2-4xy+3y2+3x-5y-5=0 ③ x2-2xy+y2+ x+ =0 ④

解：由于两个方程中含x的所有项（即x2、xy、x）的系数对应成比例，所以考虑消去未知数x（将③-④×2即可消去未知数x），最终求得原方程组的解为：

x1=- y1=-1 x2=-3y2=-1 x3=-6y3=6 x4= y4=6

3题：6x2-11xy+3y2=0 ⑤ x2+y2+x-y=0 ⑥

解：由于方程⑤的左边可以因式分解为（2x-3y）（3x-y），所以原方程组可分解为

（I）2x-3=0 x2+y2+x-y=0 （II）3x-y=0x2+y2+x-y=0

解這两个方程组，最终求得原方程组的解有3组，即：

x1=- y1=- x2=0y2=0 x3= y3=

4题：x2-4y2=4 ⑦x2- xy+y2=2 ⑧

解：由于两个方程都含x2、y2项，且没有一次项（即没有x、y这样的一次项），所以考虑消常数项就可化为ax2+bxy+cy2=0的形式，若b2-4ac≥0，则ax2+bxy+cy2=0就可以分解成两个一元一次方程，即：

A1x+B1y+C1=0（其中A1、B1不同时为零）

A2x+B2y+C2=0（其中A2、B2不同时为零）

将⑧×4-⑦即可消去常数项得：x2-5xy+6y2=0于是原方程组可分解为

（I）x-2y=0 x2- xy+y2=2 （II）x-3y=0 x2- xy+y2=2

解这两个方程组（其中方程组（I）无解），最终求得原方程组的解有2组： x1=- y1=- x2= y2=

5题：x2-y2-5x+y+8=0 ⑨2xy-x-5y+1=0 ⑩

解：有一个方程只含xy这样的二次项和x、y这样的一次项，就可以考虑从这个方程入手，解出x（或y）的表达式，在代入另一方程就可消去一个未知数。由于方程⑩ 中只含xy这样的二次项和x、y这样的一次项，因此，就从这个方程入手，解出

y= ，再把y= 代入方程⑨中就可消去一个未知数y，化简整理得到关于x的一元四次方程，最后用费拉里求根公式解得其4个根即x1=2，x2=3，x3= ，x4= ，最终求得原方程组有4组解：

x1=2y1=-1 x2=3y2=2 x3= y3= x4= y4=

也可以把方程⑨的左边进行配方得（x- ） -（y- ） =-2，将y= 代入配方后的方程中，化简整理得：

4（x- ） +8（x- ） - =0

解这个方程得x- =± ，x- =± ，即x1=2，x2=3，

x3= -1，x4= ，最终求得原方程组有4组解：

x1=2y1=-1 x2=3y2=2 x3= y3= x4= y4=

通过以上分析，今后我们看到一个二元二次方程组时，首先要观察特点，能归类的尽量按归类的方法来解决，不能归类的，也只能按常规方法来解（计算量大，公式复杂）。总而言之，要善于观察特点，总结归纳，多加练习，才能提高解题速度与计算的准确性，做到举一反三。

参考文献：

[1] 何丽亚，江海洋，谢燕主编.数学（四川省省属高校民族预科统编教材）[M].西南交通大学出版社.