第一型曲线积分的可积性条件及其应用

汪林

摘 要 类比定积分可积性条件，给出了第一型曲线积分的上和与下和概念，并通过研究上和与下和的性质，得到了第一型曲线积分的可积性条件（包括必要条件、充分条件和充要条件）及其性质，完善了第一型曲线积分可积性理论。在文章最后给出了第一型曲线积分性质的简单应用。

关键词 第一型曲线积分 可积性条件 性质 积分上和 积分下和

中图分类号：0175.5 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.07.0010

Integrable Condition of the First Type Curve Integral and Its Application

WANG Lin

（Institute of Mathematics and Economics， Chongqing University of Arts and Sciences， Chongqing 402160）

Abstract Through analog integral integrability conditions， this paper gives concept of upper and lower sum for the first type curve integral. The integrability conditions including the necessary and sufficient conditions are obtained. Theory of the first type curve integral integrability is improved. At the end of the paper， a simple application of the integral property of the first type curve integral is given.

Keywords first type curve integral； integrable condition； property； upper sum； lower sum

0 引言

从现有关于第一型曲线积分的研究现状来看，可以发现关于第一型曲线积分可积性条件的研究与证明较少。然而在定积分中，要计算一个函数的积分，运用某些性质，证明一些关于函数可积的问题是非常关键重要的。在此之前，必須弄清这个函数是否可积。这就说明研究它的可积性条件（包括它的必要条件，充要条件，充分条件）是非常必要的。第一型曲线积分作为积分学中的一个重要的积分类型，很有必要对它的可积性条件及性质进行深入的研究，以便对第一型曲线积分有更加全面的了解，在此基础上，甚至可以将其推广至第一型曲面积分上，再做更加深入透彻的研究，对它们之间的联系与转化将会更加清楚。

1 可积的必要条件

定理1： 函数 在曲线上可积，则 在上必定有界。

证假设 在上无界，则对的任一分割，必存在属于的某一曲线段， 使得 在 上无界。在的各个曲线段上任意取定点 ，并记（其中表示的弧长）

对，因为 在上无界，故 ，使得 从而

这表明函数 的积分和的绝对值可以大于任意预先给定的正数，与 可积性定义矛盾，从而结论成立。

2 上和、下和的定义与性质

函数 在曲线上是否可积，可以通过定义考察它的积分和是否能无限接近于某一个常数来判断，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，要想用定义来证明可积性在很多时候很有难度。下面给出的可积性准则只与被积函数本身有关，而不涉及其积分的值。对于给出的性质，介于篇幅有限，这里不予以详细的证明，有兴趣的读者可参照华东师版教材第九章第六节的介绍。

定义1 设 在上可积，为对的任一分割。在每一个曲线段存在上、下确界：， 。称关于分割的上和与下和，其中。

由定义1易见，对于任给的分割， 显然有

与积分和相比较，上和与下和只与分割有关，而与点集无关。由不等式（*），就能通过讨论上和与下和当时的极限来揭示 的可积性。

性质1：上和单调不增，下和单调不减，即对的任一分割及在下添加个新分点所得到的分割来说，有：

（1）

（2）

性质2 若与为任意两个分割，记与的所有分点合并在一起得到的分割为（重复的分点只取一次），则有

（3）

（4）

性质3 对任意的两个分割与，总有

性质3表明任意一个分割的下和总不大于另一个分割的上和。因此所有下和有上界，所有上和有下界，从而分别存在上、下确界，将其记作：，分别记为在上的上、下积分。

性质4：上、下积分是上和与下和在时的极限，即：

3 可积的充要条件

定理2 函数在上可积的充要条件是：在上的上积分与下积分相等。即。

证必要性设在可积，，由定义，对，当时，有。又因与分别为积分和的上、下确界，所以当时，，这就说明当时，与都以为极限，由性质4可得。

充分性设，由性质4，，从而对，当时满足，从而函数在上可积，且。

定理3 函数在在可积的充要条件是：，存在对的一个分割，使得，即 。其中表示第个曲线段上的振幅，。

证由定理2易得。

4 可积的充分条件

定理4 若函数在上连续，则函数在可积。

证由于在上连续，且为光滑可求长的曲线，故在上一致连续。即，对于上的任意两点，，，只要，便有，所以只要对所作的分割满足的条件下，在所属的任一小曲线段上，都有，从而有，由定理3知函数在上可积。

5 可积的性质

乘积性质 若，为定义在平面上可求长度的曲线段上的函数，且、、都存在，则也存在。

证由于在上都可积，则在上都有界，不妨设

若，结论显然成立。故不妨令。对，由于在上可积，则必定存在分割，使得 ，记，对于上的所属每一个曲线段，有

于是。

则在 在上也可积。

6 应用

例设函数在在上有定义，且对，存在上的可积函数，使得，。证明在上可积。

证 由已知，函数上可积，则对，存在一个分割，使得。又

可得到。由定理3可知，函数在上可积。

7 结论

本文通过类比一元函数定积分的可积性条件和性质的基础上，给出了第一型曲线积分的上和与下和概念。第一型曲线积分的上和与下和的性质完全类似于一元函数定积分的上和与下和。通过对第一型曲线积分的上和与下和的研究可以看出，第一型曲线积分的可积性条件（包括必要条件、充分条件和充要条件）及其性质可以从一元函数定积分的可积条件和性质进行推广，这为完善第一型曲线积分可积性理论有一定的参考价值。鉴于篇幅所限，第一型曲线积分的性质没有一一列出，有兴趣的读者可以仿照本文的推导进行考虑，不再赘述。

基金项目：重庆文理学院科研项目[编号：XSKY2016030]

参考文献

[1] 范国良.两类曲线积分解题方法比较及错误分析[J].数学学习与研究，2016（11）：108.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.7：209-212，234-239.