几类特殊的积分因子求法

张嘉炜

摘 要：积分因子法是求解常微分方程的一种重要的办法，本文先简单介绍了只跟 或者 有关的两类积分因子，接着介绍了几类特殊方程，如伯努利方程，齐次方程， 为特殊多项式的方程的积分因子，以及其计算方法。

关键词：积分因子 为特殊多项式的方程 伯努利方程 齐次方程

一、两种常见的积分因子

如果存在连续可微的函数 ，使得

为一恰当微分方程，即存在函数 ，使 ，则称 为方程（1） 的积分因子。

这时 是方程（1）的通解。通过解上述方程求积分因子一般较为困难，但在几种特殊情况下，比较容易。对于方程 ，如果存在只与 有关的积分因子 ，则 ，这时方程（2）变为 即

由此可知，方程（1）有只与 有关的积分因子的充要条件是

方程（2）的一个积分因子为 ，（2）只与 有关的积分因子的充要条件以及相应的积分因子同理可得。

二、 为特殊多项式时的积分因子

例1：

解：原式= 显然， ， 不是只关于 或 的函數，因此无法用一般方法求积分因子。注意到 为多项式，设积分因子

则

将 ， 看作新的 ，记作

注意到若可以使 ，则新的积分因子为1，总得积分因子即为

则 成立需要满足的条件为 解得， ，则积分因子 ，代入原方程可得 ， ，方程解为

注意到此方法要求新的 求偏导数以后除系数不同外，其他对应相同，即需满足

，（ 表示等式两边只有对应的系数不同）即 ，当 中 的次数相同时，一定满足此方法的条件。

三、伯努利方程的积分因子：

形如： 的方程，称为伯努利微分方程，这里 为 的连续函数， 是常数。查阅资料发现，要求伯努利方程的积分因子，需要先证明以下定理：

1.假定方程（1） 中的函数 满足 ，其中 ， 分别为 的连续函数，则方程（1）有积分因子

证明：用 同时乘以方程（1）的两端，则（3）

得出

又由于 ，故 ，所以方程（3）为全微分方程，故 是方程一的积分因子。即

故 ， ，取 ，则满足关系式 ，得积分因子为 。

参考文献

[1]王高雄.常微分方程[M].第三版.高等教育出版社.北京.2006.7.

[2]李广伟.典型方程的积分因子的解法[D].大连理工大学.2010.endprint