课本习题的示范引领作用

张春雷

[摘 要] 关注教材，提高教材的使用效率，更主要的是不要脱离教材的教学和复习，真正领悟教材是教学和考试之本. 对比教材和高考试题的相似度，让师生更明确方向，有的放矢；活用教材，理解知识的内涵和外延.

[关键词] 习题；高考题；对比；教材；知识体系；整合与延伸

不论是新知识的学习还是高三复习，一定要注重基础知识、基本技能和基本方法. 纵观高考试题，不难发现多题似曾相识. 纵横不出方圆，万变不离其宗，就是说，尽管形式上变化多端，其本质或目的不变，殊途同归. 高考试题多源自课本上例题或习题的重新整合，课本题大多蕴含着丰富、深刻的背景，实践证明，以课本为素材组织的高考复习不仅不会影响高考的成绩，而且是提高高考成绩非常有效的途径.

现仅从圆锥曲线这一知识点，对比习题与高考试题，说明课本习题的示范引领作用，每个对比仅举几例.

对比一：人教B版选修2-1第47页第7题. 已知椭圆的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F且与坐标轴不平行的直线l与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长为12，求这个椭圆的方程.

简析：考查椭圆的定义，

MF1

+

MF2

=2a，

NF1

+

NF2

=2a，

MF1

+

MF2

+

NF1

+

NF2

=4a，恰好为△MNF2的周长，故4a=12，a=3，已知c=2，由b2=a2-c2=1，这个椭圆的方程为+y2=1.

【2011新课标理第14题】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为. 过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________.

本题比课本上的习题多了一个离心率e=，4a=16，a=4，c=2，b=2，椭圆C的方程为+=1 .

【2014大纲理第6题】 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）

[A. +=1 ] B. +y2=1

C. +=1 D. +=1

这两个题是同一知识点，不同版本教材在不同年份的考查，只是在原题的基础上多加了离心率，高频考点不回避，可见命题者的良苦用心，更能说明课本的引领示范作用.

对比二：人教B版选修2-1第48页第2题：已知点A（1，1），而且F1是椭圆+=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求

PF1

+

PA

的最小值和最大值.

简析：设F2是椭圆+=1的右焦点，

PF1

+

PF2

=2a=6，

PF1

=6-

PF2

，

PF1

+

PA

=6-

PF2

+

PA

=6+（

PA

-

PF2

），直線AF2与椭圆交点P1，P2为所求的最大值或最小值的对应点（可借助三角形两边之差与第三边的关系）.

PF1

+

PA

的最小值和最大值分别为6-，6+.

人教B版选修2-1第66页第3题：（1）已知抛物线y2=4x，P是抛物线上一点，设F为焦点，一个定点为A（6，3），求

PA

+

PF

的最小值，并指出此时点P的坐标.

简析：设PQ垂直准线于Q，则

PF

=

PQ

，

PA

+

PF

=

PA

+

PQ

≥

AQ

，所以AQ垂直于准线，即：A，P，Q共线时，

PA

+

PF

的最小值为7，此时点P的坐标

，3

.

【2009辽宁理第16题】 已知F是双曲线-=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为__________.

简析：c=4，F（-4，0），右焦点F′（4，0），由双曲线的定义

PF

-

PF′

=2a=4，所以PF+PA=4+

PF′

+

PA

≥4+

AF′

=9. 最小值为9.

不难发现，三道题的阶梯策略有共性，均是利用定义转化为共线问题.所以，在做题的时候不要为了做题而做题，要不断地总结共性的东西，把知识归类，寻找合适的解题方法. 这样就不至于做题没有思路了.

对比三：人教B版选修2-1第70页习题2-5A第1题：已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，求直线l的方程.

简析：利用“点差法”，设直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得

+

=1，

+

=1， 两式相减得+=0. 由M（4，2）为线段AB的中点，可知

=4，

=2，代入上式可求直线l的斜率，进而求出直线l的方程为x+2y-8=0.

本题也可以设直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.

【2013新课标1理第10题】 已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点. 若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（ ）

A. +=1 B. +=1

C. +=1 [D. +=1]

【2010新课标理第12题】 已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程为（ ）

A. -=1 [B. -=1]

C. -=1 D. -=1

可以看出解法比较常规，并且具有针对性.

对比四：人教B版选修2-1第71页习题2-5B第4题：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，点A在x轴的上方，求的值.

简析：设直线AB的方程为y=x-，与抛物线方程联立，消去x，得y2-2py-p2=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1+y2=2p，y1y2=-p2，+=-6，+-6=0.

令t==->1，则t2-6t+1=0，t==3+2.

我们把倾斜角换成θ，它又有一般性结论：

AB的倾斜角为θ，

AF

=

AA1

=

A1E

+

EA

=p+

AF

·cosθ，

AF

=，同理

BF

=，

AB

=

AF

+

BF

=.

继续探讨又能得到如下结论：弦AB被焦点分成m，n两部分，则+=；y2=2px（p>0）的焦点F，点M在抛物线上，延长MF与直线x=-交于点N，则+=；S△OAB=等等.

如果上述结论非常熟练，下面高考题就迎刃而解了.

【2014全国2高考理第10题】设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30° 的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）

A. B.

C. [D. ]

【2012重慶理第14题】 过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=，AF

对比五：人教B版选修2-1第70页习题2-5A第2题：已知椭圆+=1，点A，B分别是它的左、右顶点. 一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，又当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹.

简析：A（-2，0），B（2，0），P（x0，y0），Q（x0，-y0），

直线AP的方程为y=（x+2）①，

直线BQ的方程为y=（x-2）②.

由①×②，得y2=（x2-4）③，P（x0，y0）在椭圆上+=1④.

由③④得到直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程-=1.

所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹是以（-，0），（，0）为焦点，实轴长为4的双曲线.

【2012辽宁文第20题】 如图1，动圆C1：x2+y2=t2，1

简析：A1（-3，0），A2（3，0），A（x0，y0），B（x0，-y0），

直线AP的方程为y=（x+3）①，

直线BQ的方程为y=（x-3）②.

由①×②，得y2=（x2-9）③，A（x0，y0）在椭圆上+y=1④.

由③④得到直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程-y2=1（x<-3，y<0）.

上题就是习题的翻版. 立足课本，追根溯源.

由于篇幅所限，就不再一一对比.总之，脱离课本的教学与复习，不对课本提供的知识进行深化，大搞题海战术，学生的收获终究不大：对课本的知识一知半解，没有达到一种整体的高度，能力培养不出来，信心树立不起来，不爱探究，更谈不上举一反三了. 我们关注课本，把课本的知识掌握好，不断扩大自己的视野，不断总结，教师教学、学生高考都能够取得优异的成绩.