高级数学思维及其培养策略（上）

邓友祥

当前数学教学中，不少学生反映：为什么老师讲的我都懂，但自己做就不会或一做就错呢？为什么有时感觉都会，但对而不全呢？为什么解答做过多次（甚至比较熟悉）的题，反而容易粗心出错呢？对此，担任过多年江苏省高考数学阅卷负责人的涂荣豹教授曾披露：“江苏省数学高考近20年没有几个满分考生，而零分考生却是一大把。因为老师没有把‘让学生自己会做的方法教给学生，学生只是机械记忆解题方法。”[1]喻平教授针对我国目前数学教育存在的问题，指出高级数学思维是一个值得研究的问题[2]。进一步了解发现，目前数学教学中80%的时间都花在低级思维能力训练上，只有20%的时间学生才真正运用高级思维能力。大多数学生的数学学习对教师的依赖程度较高，学生虽进行了大量数学练习，方法技巧掌握了一大堆，但其数学思维更多地处于低级水平。此外，教师也未必清楚学生的数学思维状况，仅凭自己的经验、直觉，甚至主观臆断强化学生的解题训练。这就使得学生的数学学习缺乏深层次的思考，数学学习效率和水平普遍不高，到了中学阶段（高中尤为明显）数学学习显得后劲（数学思维）不足。许多学生可能直到大学都无法发展出高级思维能力。由此看来，加强高级数学思维的研究，对提高数学教学效率和学生数学学习水平具有十分重要的意义。

1高级数学思维的基本内涵

高级数学思维是学生学好数学理应具备的重要数学素养。目前，国内外数学教育界与此类似的提法还有“高层次数学思维”“高等层次数学思维”等，西方研究者还提出了“高层次数学思维能力”的概念。但其实质都是指学生数学认知活动中发生的（相对其现有数学思维水平）较高层次的思维。目前数学教育界对这个概念的内涵界定还不清晰。研究高级数学思维，必须要对高级思维有所了解。

1.1高级思维的研究现状

高级思维是相对于低级思维而言的，其研究大多是在布卢姆、斯腾伯格、弗拉维尔等理论的基础上展开的。

当前，关于高级思维的研究虽存在多种具有较高认可度的界定，但这些解释是基于不同的理念，存在显著差异。如Resnick认为高层次思维这个术语抵制精确形式的定义，因为它的一些关键特征无法定义得非常准确，但是当高层次思维能力在实践中发生时却能够被识别出来[3]。又如，Lewis和Smith从心理学的视角对高层次思维的定义是[4]：高层次思维发生在当个体需要将新知识和已有知识建立联系，或者改变及拓展这些知识来达到一个复杂的认知目的，或者在复杂的情境中发现可能的答案。这两种界定，理论性均较强，不便于一线教师理解和掌握。

目前，得到一线教师广泛认同的是依据布卢姆教育目标分类学对高层次思维的界定，其将认知领域的教育目标分为六级[5]：知道、领会、运用、分析、综合和评价。通常，前三者称为低级思维能力，后三者称为高级思维能力。但此种分类并非是从思维深度上划分的，也不够准确和全面。

由此看来，高级思维的研究尚存在差异，要对高级数学思维的内涵进行科学合理的界定，同时又有助于一线数学教师理解、掌握和应用，显然不是一件易事。笔者认为，此项工作的开展，前提是必须在理论研究的基础上加强实证研究，对数学思维作出深度的层次划分。

1.2数学思维层次的划分

1959年，荷兰数学教育家赫尔经过研究，提出学生的几何思维发展可分为视觉期、描述期、关系期、推理期、公理期等逐级升高的五个层次[6]：只能按图形形状来区分———能对认识的图形形状加以分析———逻辑地认识几何图形———整体上理解演绎法的意义———超出对理论的任何具体解释而发展理论。

1974年，苏联数学教育家A.A.斯托利亚尔在此基础上，提出代数（包括算术）领域也可相应分为五种思维水平层次[6]：认为数与它所表征的具体对象的集合是不可分割的，运算是直接在对象集合上进行的———数由它们所表征的集合对象中抽象出来，运算的性质是归纳地建立起来的———实现了由数字表示的具体数到抽象的字母表示的过渡，局部地实现了数的性质的逻辑整理———在给定的具体解释下，能演绎地建立整个代数———舍弃了计算对象的具体性质、运算的具体含义，并将代数建立成不作任何解释的抽象演绎体系。

基于上述理论研究，笔者曾在十多所中小学校，采用实验法、观察法、个案研究法、问卷调查法、行动研究法、文献研究等方法，就学生的创新意识、创新思维、情绪智力（情商）、数学思维活动的层次等进行了多年实证研究。研究表明，中小学生数学思维活动水平可以划分为直观水平、直觉水平、经验水平、知识经验水平、逻辑水平、方法论水平等六个层次；学生自知力、自控力的强弱程度与正确数学观念的建立、良好思维习惯等数学素质的养成密切相关；学生自激力、移情力、驾驭力的强弱程度对其数学学习兴趣、学习热情和数学交流的积极性、主动性有直接影响[7～12]。

据此并结合我国实际，笔者认为学生的数学思维必须要经历直观到抽象、有形到无形、外在到内在、非逻辑到逻辑的过程。具体可将学生的数学思维分为如下五个层次（由低到高）。

第一层次：视觉期。学生只能认识眼前有形的、实在的事物，不能判断概念的属种等逻辑关系。此时，数与运算的认识还离不开其所表征的具体对象的集合，几何图形的认识仅凭视觉整体观察，只会按其形状（尚未加以分析）来区分。

第二层次：描述期。学生能依据已有知识和经验，将欲认识的数学对象从其所表征的具体对象中抽象出来，但不能得到数学的逻辑结构。数学概念可从其所表征的具体对象中抽象出来，数学规则（法则、公式、性质、定律等）是归纳地建立起来的，但不能理解数学知识之间的逻辑关系。

第三层次：关系期。学生理解數学知识有时仍需一定的经验，但能接受并使用定义，能认识数学概念和数学规则之间的逻辑关系，通过分析作一些简单的非正式推理，局部地实现数学知识的逻辑整理，但不能从整体上理解演绎法的意义。

第四层次：推理期。学生不再仅凭经验、观察得出结论，习惯于强调定义（界定概念），能综合分析和运用已有知识通过逻辑推理建立定律、定理等数学知识，能建构命题的证明过程，在整体上理解演绎法的意义。

第五层次：公理期。学生能理解数学知识体系及抽象性，合理评判并舍弃对象的具体性质和其间关系的具体含义，超出对理论的任何具体解释而发展理论，在不同的公理系统下严谨地建立数学知识并能分析、比较这些系统。

上述各层次的发展是循序渐进的，任何教学法都不可能让学生跳过某一层次而直接达到高一级层次，但过渡之后有时仍需回到较低水平以便更好地理解它们，思维层次的进步往往依赖于教学而非年龄的增长。实践表明，就目前我国绝大多数学生而言，小学一、二年级达到第一层次水平，小学三至六年级达到第二层次水平，初中达到第三层次水平、局部达到第四层次水平，高中达到第四层次水平，第五层次水平目前在中小学任何阶段较难实现。

值得说明的是，上述关于数学思维划分的五个层次中所涉及的关键要素，与当前《普通高中数学课程标准》提出的“高中阶段数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体”有较高的吻合度。

1.3高级数学思维的内涵界定

要对高级数学思维概念的内涵作出较为科学合理的界定，除了基于上述数学思维层次划分来进行以外，还必须基于数学思维概念来界定。所谓数学思维，就是以空间形式和数量关系为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，以认识发现数学规律为目的的一种思维[13]。

至此，我们虽难以对高级数学思维的概念给出一个十分准确的定义，但仍可将其内涵界定如下：高级数学思维是指人脑在与数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用的过程中，以认识发现数学规律为目的，合理运用抽象思维结构，经过分析与综合，将信息整合为一个完整体系，并能进行合理评判的内在理性活动。

2高级数学思维的核心要素

从操作层面来看，要有助于一线数学教师深入理解、掌握和应用，并能有效培养学生的高级数学思维，必须明确其核心要素。这就有必要先弄清高级思维过程所包含的内容。对此，心理学家争论了几十年，基本达成了共识[14]：从信息获得的角度看，高级思维体现为简单识记层面上的筛选、估计、信息价值的评估等，与布卢姆提出的分析、综合、评价密切相关；从信息加工的角度看，高级思维体现为领会、理解层面之上的分析、综合等，并能够跨越知识门类限制实现广域范围的信息统合；从思维监控的角度看，高级思维注重更强的元认知能力，要求个体习惯于对整个思维过程进行高位的监控和评价。

基于上述共识，依据高级数学思维概念的基本内涵，从其深度剖析，高级数学思维应包括如下核心要素。

（1）逻辑分析。即能将要学习或研究的数学对象分解成若干组成因素和组成部分，以便弄清各种观念的有关层次或其间的逻辑关系。

（2）信息表征。指能将各种数学学习（或研究）要素组成一个有机整体，以构成更为清楚的模式或数学结构加以存储，并通过适当方式表达出来。

（3）资源调配。就是能针对所要学习或研究的对象，合理调动其大脑已有认知结构中的相关信息，并将之与学习或研究对象发生有机联结与作用，从而有助于形成新的认知结构。

（4）策略选择。指能针对所要解决的问题，在综合判断和信息资源调配的基础上，选择合理的问题解决策略。

（5）思维监控。为确保达到预期目的，能在思维过程中将思维个体作为意识对象，不断对其进行积极主动定向、控制和调节。

（6）合理评判。指为了一定的目的，对某些观念和方法等的价值作出判断与评价。评判是最高水平的认知学习结果，也是批判性思考的核心内容，包含根据内部准则判断和依据外部准则判断两方面的内容，其高级形式是思辨、多元思考[5]。

3高级数学思维的主要特征

心理学研究表明，对任何个体而言，都有高级思维与低级思维之分。如何正确区分学生所表现出的数学思维是高级的还是低级的，是广大一线数学教师面临的不可回避的现实问题。区分数学思维是高级还是低级虽没有绝对的标准，但不能单纯以年龄大小或数学思维水平层次高低来论。笔者认为，就某个具体问题而言，学生只要能在某一点上超越其现有数学思维水平，此时其数学思维都可认为是高级的。通俗地说，能引发深入数学思考并能促进思维水平层次提升的思维就是高级数学思维，那些不需要多少努力就能完成的思维是低级数学思维。具体判断时，可参照如下主要特征。

3.1逻辑性

既然高级数学思维强调分析、综合与评价，以及对抽象思维结构的利用，那么其必然表现出较强的逻辑性。这一特征要求数学教学要引导学生进行合理的数学思考，促其依据数学概念、数学规则和相关程序步骤，通过逻辑推理得出科学结论。

3.2整体性

具有高级数学思维能力的学生，往往善于从层次、关系、类别及系统等角度看待事物，并将所获得的信息整合为一个完整体系，这是一种整体结构观。这一特征要求数学教学要确立整体联系观，引导学生了解数学知识之间的区别和联系，帮助学生把头脑里的知识形成网络清晰、融会贯通的知识结构。

3.3批判性

批判性是一种基于充分的理性和客观事实而进行理论评估与客观评价的能力。学生只有具备较强的批判性思维能力，其思维才可能表现为较高层次水平。这一特征要求数学教学要重视引导学生进行批判性回顾，实施多层次变式训练，不断提高学生的合理评判能力。

3.4自控性

学生对学习或研究对象作出合理分析与逻辑判断，有时需要涉及理性之外的认识、意识、心理等非理性因素[15]。这就要求学生进行高级数学思维活动时，要具有辨别是非及控制自己数学学习行为的能力，这种能力的体现就是自控性。

3.5反省性

实践研究表明，数学教学应从数学学科特点的角度出发，对学生的数学认知活动进行深入研究，重视引导学生进行自我反省，以达到有效培养学生数學能力及提高数学教学整体水平的目的[16]。这就是说，具有高级数学思维能力的学生，往往有较强的辨析力和良好的批判性数学思维品质，在平时学习中能自觉反思自身的数学学习行为与结果。

（待续）