数学无穷思想的发展历程

杨丹丹

摘 要：数学与生活有着密切的联系，个体在进入小学阶段之前就已经不同程度地与数学开始打交道，逐渐从阿拉伯数字入手开始走进数学世界，解开数学面纱。到目前为止，我们对数学的了解已经到了一定的程度，对数学知识的认识也有了一定的积淀。这就使得我们对数学产生了更大的好奇心——数学知识是如何产生以及如何发展的呢？

关键词：无理数；集合理论；康托尔

一、古代无穷的观念

在古典数学思想中，将“集”进行了界定与划分，即将数集划分为有限集和无限集。对于有限集来说，“集”中的元素是有限的，如{1，2，3，4，5，6，7}就表示这个集中共有7个元素，而除了这7个元素之外再无其他元素。对于无限集来说{1，2，3，4，5，6，7}所表示的是这个集中的元素是无限的，除了这7个已经表示出来的元素之外还有无数个其他元素，对于这样的无穷集合来说，伽利略曾经提出了这样一个令自己和他人都困惑不解的问题：显然人们是无法知道确切元素个数的。但同时人们又承认：自然数的平方依旧是自然数，如22=4；42=16，而这种由自然数平方而形成的集合应该是自然数集的一个真子集，按照这个推理，自然数集中的元素应该比自然数平方集中的元素更多，因为真子集应该包含在子集之中。然而从另外一个角度来看，无论是自然数还是自然数的平方都应该是无穷尽的，无限的，因此这两个集合中的元素应该是相同的或者根本无法进行比较的。对于这一问题使包括伽利略在内的同时代数学家、科学家都感到迷茫，一直停留在这个自相矛盾的漩涡中。

二、分说

所谓“二分说”是指当物体由A地到B地时，按照数学的逻辑是永远无法达到的。因为要想从A到达B就必须通过其路程的■，而要想通过这段路程的■，就需要先通过这■的■，也就是整个路程的■。要想通过整段路程的■，就要先通过其■……按照这样的推理将永无止境。因此芝诺得出，该物体是永远无法达到终点的，因为他始终被道路的无限分割所阻碍着。当然这显然与我们的日常生活相违背，由于和无限问题联系过于密切，以至于古希腊数学家们对数学的无穷而敬而远之了，并将“无限”拒绝于自己的推理之外了。

在我国古代也有很多对“无穷”的思考，如“学无止境”“学海无涯”“一尺之锤，日取其半”等也都体现着这一观念。

三、无穷集合论的建立

1.集合理论的早期尝试

康托尔并非唯一一个对数学无穷思想进行研究的科学家，波尔查诺也对数学集合理论进行了探索。对于波尔查诺来说，他认为实无穷集合是存在的，同時也认为这两个集合是等价的。而这与“两个几个元素之间的一一对应”是一致的。波尔查诺提出的这一无穷思想不仅适用于无限集合，更适用于无穷集合。他通过数学公式来证明了无穷集合的一部分或子集等价于整体这一观点：0-5之间的实数通过公式y=■，能够与0-12之间的实数形成对应关系，尽管第二个集合包含着0-5实数的集合，但这也使得无穷集合中元素个数的比较提供了一定的依据。

2.康托尔集合论思想

数学家最喜欢研究的集合是自然数集，因此康托尔就用这样的数集来证明他的等价或势的观念。为此，他提出了“可数”这一概念，对于所有能与自然数集合形成一一对应关系的集合都视为可数或可列集合，同时是最小的无穷集合。

起初，康托尔证实了所有有理数集合都是可数的。这与人们的直觉有很大的差异，因为有理数给人的直觉感受是“稠密”的，也就是说任何两个有理数之间都有其他的有理数存在，而正整数却并不如此。对于这个问题，康托尔一共给出了多个证明，其中一个是目前普遍采用的：

将所有正有理数进行排列，第一行将以1为分母的正分数按照从大到小的顺序进行排列；第二行将以2为分母的正分数按照从大到小的顺序进行排列；第三行将以3为分母的正分数按照从大到小的顺序进行排列......按照这样的次序进行排列，就可以使所有的正有理数都包括在内，但值得注意的是，这些有理数中会有一个部分是重复出现的，如■，■，■等等。

现在我们从■开始，按照1对应■，2对应■，3对应■，4对应■……进行排列，使得每一个有理数都在某一步对应着一个固定的自然数。因此，上文中所列出的有理数集合与自然数集合就形成了一一对应的关系，再将重复的数字去掉，那么这个有理数集依旧是一个无穷集合，因此也一定是可数的，因为可数集合就是最小的无穷集合。这个推论就使我们意识到直觉是不应该轻易相信的。

依照上述推论还可以延伸出以下结论：如自然数与其平方数是一样多的，偶数与自然数是一样多的，负数与整数是一样多

的……因为它们都是可数的。不仅如此，康托尔还证明了所有可以成为代数方程解的数所构成的集合也是可数的。当得出上述推论以后，康托尔开始进行这样的设想：在自然数与实数之外是否还存在更大的无穷集合。

康托尔的集合论是人类对于集合研究的一个新的里程碑，他认为，数学理论的推进首先应该肯定无穷的存在，但却不能将“无限”与“无穷”相混淆，同时他还提出，虽然人类的认知有限，但有限的认知却可以面对无穷。

参考文献：

[1][美]乔治·波利亚.数学的发现[M].刘景麟，曹之，译.科学出版社，2006.

[2]徐传胜，郭政.数理统计学的发展历程[J].高等数学研究，2007（1）.

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