非线性常微分方程边值问题的求解

张孟

【摘要】本文研究了一类非线性常微分方程边值问题的求解，由于常微分方程与实际应用问题联系密切，文中结合了一种特定的物理现象，以此为背景建立运动微分方程，然后给出了三类边界条件，最后对有限变形问题进行求解，得到了其非平凡解。

【关键词】非线性常微分方程 边值 求解

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）29-0133-02

一、运动微分方程的导出

首先引入Lagrange空间和Euler空间，前者代表物体变形前占有的空间，后者表示物体变形后占有的空间。物体在Lagrange空间中所占的区域被称为初始构型，记为Ω0，物体在Euler空间中所占的区域被称为现时构形，记为Ω。对于连续介质中任意给定的物质点，它在初始构型中的物质坐标（X1，X2，X3）是确定不变的，它在现时构形中的位置坐标（x1，x2，x3）随着变形的不同而不同。

x=x（X，t）

X=X（x，t）

由运动方程（1）和（2），可得

dx=FdX，dX=F■dx

方程（3）也可表示为：

dxk=xk，KdXK

方程（3）中F是式（1）的雅克比矩阵，被称为变形梯度张量，是一个二阶张量，并且有：

F=■或者F■=■=xk，K

对F进行分解，可以得到F的如下所示极分解表达式：

F=RU=VR

其中，R是一个正交张量；U和V表示的是伸长部分，它们是对称正定张量，有相同的特征值。由（6）式可以推出

C=U■=F■F，B=V■=FF■

其中，C称为右柯西-格林变形张量或者Green变形张量，B被称为左柯西-格林变形张量或Finger变形张量。

两个变形张量具有三个相同的主不变量：

I■=trC=trB=λ■■+λ■■+λ■■，

I■=λ■■λ■■+λ■■λ■■+λ■■λ■■，

I■=λ■■λ■■λ■■

变形后的线元dx、面元da和体元dv分别为

dx=FdX，dxk=Xk，KdXK，

da=JF■dA，da■=JX■dA■，

dv=JdV.

其中，J=det|F|。由此可以得到物体变形的不可压缩条件为：

J=det|F|=1.

根据质量守恒定律可以导出物体初始构形的体密度ρ0和现时构形的体密度ρ之间应该满足的局部的连续性方程为：

ρJ=ρ0

在物体的现时构形中，作用于物体面元上并且以n为外法线的应力矢量为

t（X，t，n）=σn，

其中，σ=（σij）称为Cauchy应力张量，它只依赖于位置X及时间t，而不依赖于外法线矢量n。

根据Cauchy第一运动定律，可导出运动微分方程：

divσ+ρf=ρX

进一步地，可以根据Cauchy第二定律计算得到应力张量的对称性，即

σ■=σ，σ■=σ■

二、边界条件及方程求解

3.1 边界条件

假设物体在初始构形中占有的区域为Ω0，边界为？坠Ω0。在现时构形中，物体占有的区域为Ω，边界为？坠Ω。则有以下三种可能的边界条件：

（a）位移边界条件

设在边界？坠Ω0上，位移场u=x-X是已知的，则在？坠Ω0上有

u=■（X） （19）

其中，■（X）是关于X的已知函数。

（b）面力边界条件

在现时构形单位面积上的应力矢量t，可以用作用在初始构形单位面积上的应力矢量P来表示，即有

tda=PdA （20）

其中，da，dA分别是现时构形和初始构形中物质面元的面积，则应力矢量P与第一类Piola-Kirchhoff应力张量S有如下的关系

P=Sn， （21）

在拉格朗日框架内，给定面力的边界条件可表示为

Sn=■（X） （22）

（c）混合边界条件

设边界？坠Ω0=？坠Ω■■∪？坠Ω■■，在边界？坠Ω■■上给定面力矢量■（X），在边界？坠Ω■■上给定位移矢量，■（X），则混合边界条件为

u=■（X），X∈？坠Ω■■ （23）

Sn=■（X），X∈？坠Ω■■ （24）

3.2 方程的求解

设球形结构的内外半径分别为R1和R2.在球坐标中，设变形前球体占有的区域为D0，在球对称变形的假设下，变形后的构形为D。变形的主伸长λi及变形梯度张量F分别为

λr=r（R），λθ=λ？准=r（R）/R， （25）

F=diag（λr，λθ，λ？准） （26）

其中，字母上面的“点”都表示关于变量R的导数。

变形梯度张量F的雅克比行列式J=detF=1，从而有

r（R）=R■/r■（R）. （27）

柯西應力张量的各个非零分量为

■ σ■（R）=λi■-p（R）， （28）

其中，p是对应于不可压缩条件λr，λθ，λ？准=1的静水压力，是一个待定函数。另外，此处重复的下标i不表示求和。

由（28）式，可得

σ■（R）=λr■-p（R）， （29）

σ■（R）=σ？准？准（R）=λθ■-p（R）， （30）

对（27）式积分，得到

r（R，c）=（R■+c■）■，R■≤R≤R■ （31）

由式（25）和式（31）可以得到

λr=（1+■）■，λθ=λ？准=（1+■）■ （32）

为了方便后面的应用，引入统一的无量纲记号：

η=η（R，c）=■=（1+■）■，x=■，δ=■ （33）

把式（32）重新记为

λr=η■，λθ=λ？准=η （34）

而且应变能函数（3.6）可记为

■（η）=W（η■，η，η■） （35）

将上面（33）（34）（35）带入球形结构的任意平衡构形的总能量方程得到

■（x）=■=3x■■■dη-3p■[（1+x■）■-1] （36）

根据最小势能原理，对应于球形结构的任意构形的平衡街可以由以下方程求得：

■=0 （37）

把式（36）带入式（37）中，得到

x■[（1+x■）■■■dη-p■]=0 （38）

显然，对任意给定的p0>0，x=0即c=0，恒满足方程（38），次时球形结构内半径仍为R1，因此，称x=0为有限变形问题的平凡解。若存在x>0，即c>0，则有

p■=（1+x■■）■■■dη （39）

称式（39）为有限变形问题的非平凡解。不难看出，对于给定的结构参数δ和不可压缩超弹性材料，球形结构内部的径向有限变形由方程（39）唯一确定。

参考文献：

[1]贺爱娟. 一类非线性常微分方程边值问题的求解方法及其解的定性分析[D].烟台大学，2008.

[2]李兴昌.非线性算子不动点理论与常微分方程正解的讨论[D].曲阜师范大学，2012.

[3]胡银萍.具有积分边界条件的二阶微分方程解的存在与唯一性[D].天津财经大学，2012.