从高考试题例谈遗传定律教学中的若干数理统计问题

艾剑鸣

(浙江省温州中学 325000)

遗传学定律是在大量实验、探究的基础上逐步建立起来的。实验和探究离不开数据的收集、处理与解释，而这通常需要以科学的数理统计方法为基础。

1 互斥事件的加法原理与独立事件的乘法原理

在一次实验中，如果事件A与事件B不同时发生，就叫做A和B互斥(也称互不相容)，A、B中恰有一个发生的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此为加法原理。

在实验中，如果事件A的发生对事件B的发生不产生影响，就叫做A和B是相互独立的，则A、B同时发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的乘积，即P(AB)=P(A)×P(B)[1]，此为乘法原理。

例1 (2016年4月浙江选考题，节选)果蝇的长翅(B)与短翅(b)、红眼(R)与白眼(r)是两对相对性状。亲代雌果蝇与雄果蝇杂交，F1表现型及数量如表1。

请回答：

(1)略；

(2)F1长翅红眼雌果蝇中，杂合子占________；

(3)现有1只长翅白眼果蝇与1只长翅红眼果蝇杂交，子代雄果蝇中长翅白眼占3/8，则子代雌果蝇中出现长翅白眼的概率为________。

表1 F1表现型及数量

解析：两处计算均涉及乘法原理应用，难度有梯度递进，前者只需套用乘法原理，而后者则需理解乘法原理方能灵活应用。具体分析如下：第(2)小题，据表中F1表现型及数量可知，亲本为BbXRY×BbXRXr，故F1长翅红眼雌果蝇基因型为B__XRX-。解法一：可依据加法原理，所求雌果蝇杂合子的基因型包括BBXRXr[其概率为P(甲)=1/6]、BbXRXr[P(乙)=1/3]、BbXRXR[P(丙)=1/3]，故P杂=P(甲)+P(乙)+P(丙)=5/6。解法二：依乘法原理，其翅形基因纯合(BB)的概率为P(1)=1/3，眼色基因纯合(XRXR)的概率为P(2)=1/2。按独立事件的乘法原理，故其中纯合子的概率P纯=P(1)×P(2)=1/6，即杂合子概率为P杂=1-P纯=5/6。第(3)小题，常规解题思路：仍可按乘法原理，先将子代雄果蝇中长翅白眼的概率3/8看做两个独立事件(即长翅和白眼的概率之积)，后可求出杂交双亲的性别，再由亲本求子代雌果蝇出现长翅白眼的概率。但如此解题的话，因计算量大、费时费力，错误率高。因而可改进思路：由子代雄蝇有两种眼色，可知母本为杂合子红眼果蝇，故父本为白眼(XbY)果蝇，此时其子代雌雄果蝇表现相同，故子代雌果蝇中出现长翅白眼的概率亦为3/8。

例2 (2012年广东卷)人类红绿色盲的基因位于X染色体上，秃顶的基因位于常染色体上，结合表2信息可预测，图1中Ⅱ3和Ⅱ4所生子女是：

A.非秃顶色盲儿子的概率为1/4

B.非秃顶色盲女儿的概率为1/8

C.秃顶色盲儿子的概率为1/8

D.秃顶色盲女儿的概率为0

表2 秃顶基因及其表现型

图1 某家系秃顶/红绿色盲遗传图

解析：据题意，II3的基因型为BbXAXa，II4的基因型为BBXaY。分开考虑，后代秃顶的概率为P(秃)=1/4，P(非秃)=3/4；后代患红绿色盲的概率为P(色)=1/2，P(非色)=1/2。但因为此时是否秃顶与是否色盲患者及性别都是相关事件而非独立事件，因此A项中非秃顶色盲儿子的概率是不能用P(非秃)×P(色)×1/2来计算的。正确的解法应该是将两种性别分开分析，如果是生儿子P(男)=1/2，P(非秃)=1/2，P(色)=1/2，故非秃顶色盲儿子的概率应为上述三者之积，即1/8。或者直接将表现型(非秃顶色盲儿子)转换为基因型(BBXaY)，此时基因型为BB和基因型为XaY为独立事件，故其概率P=P(BB)×P(XaY)=1/2×1/4=1/8。同理可求得B选项(非秃顶色盲女儿的概率)为1/4；C选项(秃顶色盲儿子的概率)为1/8；D选项(秃顶色盲女儿的概率)为0。参考答案：CD。

2 二项分布

例3 试求一对白化基因的携带者夫妻，所生3个孩子中至少有2个正常的概率。

3 数列分析

在一些代数较多的杂交实验中，随代数的增加，子代情况的相关运算会变得非常复杂。此时用数列的思想进行分析会使问题化繁为简。若将各代组成的一个总体看做一个数列，那么每一代的情况即为数列的每一项。因每一代的情况均直接决定于其上一代，那么只要找到每一代与其上一代情况的函数关系，即可运用数列递推的思想找到Fn中某种个体的比例与代数(n)之间的关系。

例4 (2013年山东卷)用基因型为Aa的小麦分别进行连续自交、随机交配，连续自交并逐代淘汰隐性个体、随机交配并逐代淘汰隐性个体，根据各代Aa基因型频率绘制曲线如图2，下列分析错误的是：

A．曲线Ⅱ的F3中Aa基因型频率为0.4

B．曲线Ⅲ的F2中Aa基因型频率为0.4

C．曲线Ⅳ的Fn中纯合体的比例比上一代增加(1/2)n+1

D．曲线Ⅰ和Ⅳ的各子代间A和a的基因频率始终相等

图2 各代Aa基因型频率曲线图

解析：此题考查遗传学分离定律的应用，涉及到基因频率和基因型频率的计算，跳跃性强，计算量大，难度很高。连续自交时，设Fn中Aa基因型频率为an，an=1/2an-1=1/4an-2=…=(1/2)n-1a1，显然a1=1/2，故an=(1/2)n，对应曲线为Ⅳ。此时，Fn中纯合体的比例比上一代应增加(1/2)n，故C项错误。连续自交时，Fn中Aa基因型频率为an=(1/2)n，AA与aa的基因型频率均为an=1/2-(1/2n+1)。故连续自交并逐代淘汰隐性个体时，Aa基因型频率为an=P(Aa)/[P(AA)+P(Aa)]=(1/2n)/[1/2+(1/2n+1)]=2/(2n+1)，对应曲线为Ⅲ。F2中(即n=2时)Aa基因型频率为2/5，故B项正确。随机交配且无选择因素时，Aa基因型频率不发生变化，故an=a1=1/2，对应曲线为Ⅰ。结合上述对曲线Ⅳ的分析可知，D项正确。随机交配并逐代淘汰隐性个体时，令Fn-1中Aa基因型频率为an-1，则Fn-1中a基因频率为p=an-1/2，A基因频率为q=1-(an-1/2)。依据遗传平衡定律，淘汰隐性个体前，Fn中AA基因型频率为q2，Aa基因型频率为2pq。故淘汰隐性个体后，Fn中Aa基因型频率为an=P(Aa)/[P(AA)+P(Aa)]=2pq/(q2+2pq)，将p、q代入后得an=an-1/[1+(an-1/2)]，两边取倒数得1/an=(1/an-1)+1/2=(1/a1)+[(n-1)/2]。因此，a1(F1中Aa基因型频率)为2/3，代入前式得1/an=(n+2)/2，故an=2/(n+2)，对应曲线为Ⅱ。F3中(即n=3时)Aa基因型频率为2/5，故A项正确。参考答案：C。

4 分离比的检验

孟德尔豌豆相对性状的杂交实验中，F2的分离比有些与3∶1的理论分离比偏差很小。例如，子叶颜色为黄色：绿色=6022∶2001(3.01∶1)，种子形状为圆形∶皱形=5474∶1850(2.96∶1)，将此偏差视为测量所允许的误差范围，学生有很高的认同度。但有些与3∶1的理论分离比偏差相对较大。例如，花色为紫色∶白色=705∶224(3.15∶1)；豆荚颜色为绿色∶黄色=428∶152(2.82∶1)，此偏差是否仍在测量允许的误差范围，学生意见不尽相同。

测量允许的误差范围需要用一定的统计方法进行检验。例如，分离比的检验常采用χ2(卡方)作为实测值与理论值总偏差的一种统计量，然后进行适合性检验[1]。即将此χ2值与临界值作比较，可以看出此偏差是否在误差允许的范围。

例5 孟德尔关于黄色圆粒和绿色皱粒豌豆的杂交实验，共获得556粒F2代种子，其中黄色圆形、黄色皱形、绿色圆形和绿色皱形依次为315、101、108和32粒。试问此结果是否符合9∶3∶3∶1的分离比？

解析：χ2值的计算公式之一为图3。其中fi为实测频数，即F2中某一表现型的实际数量，E(fi)为理论频数，即按9∶3∶3∶1的理论分离比计算所得的F2代中某一表现型的数量。故χ2=(315-312.75)2/312.75+(101-104.25)2/104.25+(108-104.25)2/104.25+(32-34.75)2/34.75=0.470。本例中自由度df=4-1=3，查χ2值表(一尾)可知χ2<0.58，即P>0.90。也就是说，可以有90%的置信水平认为此分离比符合9∶3∶3∶1的理论分离比。

图3 X2值的计算公式

对一对相对性状的分离比及模拟实验的分离比可用同样的方法进行检验。并且此方法可在常用的EXCEL中通过编辑公式完成。因而可以在向学生简单阐明检验原理后，快速检验实验数据并向学生直观呈现检验结果。让学生不但知其然，更知其所以然。