一个新的混沌系统及其共存吸引子的研究

史传宝，王光义，臧寿池

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州 310018)

一个新的混沌系统及其共存吸引子的研究

史传宝，王光义，臧寿池

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州 310018)

为进一步研究混沌系统特性，提出了一个具有多稳定性的三维连续混沌系统.通过平衡点、Lyapunov指数、分岔图和动力学地图分析了系统受参数影响的动力学特性.在参数固定的情况下，分析初值变化的Lyapunov指数谱，得到了多种共存吸引子.通过设计模拟电路实现了该系统，实验结果与仿真结果一致.对系统混沌二值序列进行了NIST伪随机性测试，随机性优于Lorenz系统，可作为随机信号源应用于信息加密和保密通信领域.

三维混沌系统；动力学地图；共存吸引子

0 引 言

Lorenz系统是首个被发现的混沌系统模型[1]，继Lorenz系统之后，Chen系统、Lü系统等相继被提出，这些系统与Lorenz系统相比均有不同的拓扑结构.近年来，各种新混沌系统不断被发现，如多翼混沌系统[2]、超混沌系统[3]、具有恒定Lyapunov指数的混沌系统[4-5]、级联混沌系统[6]等.研究发现，许多系统具有多稳定性，而一些具有对称性的系统在更大的参数空间上存在对称的共存吸引子[7-9].具有共存吸引子的混沌系统在信息加密和保密通信等领域具有较好的应用价值.本文提出了一个新的三维连续混沌系统，不仅具有一般混沌系统的特性，其创新点在于具有共存吸引子，即在参数确定的情况下，不同的初始值诱发系统进入不同的轨道最终形成不同的吸引子[9].设计了新系统的实现电路，得到了一种混沌吸引子.新系统的混沌序列具有良好的伪随机性，可作为密钥序列设计效果更好的加密算法.

1 新的三维连续混沌系统

新系统动力学方程描述为：

(1)

图1 混沌吸引子图

2 参数对系统特性的影响

2.1 平衡点分析

(2)

其特征值均为λ0=3.308 9，λ1=-0.015 4+1.731 5i，λ2=-0.015 4-1.731 5i，则平衡点s1与s2为不稳定的鞍焦点.同理，对平衡点s3与s4来说，特征值都为λ0=1.000 0，λ1=5.551 1+3.162 3i，λ2=5.551 1-3.162 3i，说明s3与s4为不稳定的焦点.

2.2 动力学地图、Lyapunov指数谱与分岔图

如图2所示，动力学地图描述了分岔参数a，b在一定范围内变化时系统的状态分布.图2中包括左下角的连续区域及右上角的部分区域的面积最大，代表的是混沌态，其次，右上角的连续区域代表的是周期态，另外，在混沌态区域与周期态区域还存在一些点状分布的稳定态.Lyapunov指数是产生混沌的一个重要判据，三维系统若产生混沌则其Lyapunov指数必遵循(+,0,-)的特点[10].系统随参数a变化的Lyapunov指数谱如图3所示，当a∈(0.0,1.7)时，Lyapunov指数分布为(+,0,-)，说明系统是混沌的.图4通过系统随参数a变化时的分岔图体现了系统的倒倍周期变化，即由混沌轨道演变为倍周期轨道，最后进入周期一轨道.

图2 动力学地图

图3 Lyapunov指数谱

图4 分岔图

3 变量初值对系统特性的影响

混沌系统不仅受参数的影响，对变量的初始值也具有高度敏感性，在确定的参数组合下，不同的初值组合导致系统的运行轨迹不同，一些运行轨迹最后都收敛在同一个吸引子上，而有些运行轨迹则收敛在其他的吸引子上，称这些吸引子为共存吸引子.

图5分别给出了系统(1)在参数a=1.0，b=5.0时随初值x(0),y(0)变化的Lyapunov指数谱.由图5(a)可知，除x(0)=0外，系统的Lyapunov指数均满足(+,0,-)的分布，说明系统是混沌的.在x(0)=0处，系统Lyapunov指数为(+,0,0)，将此种情况下的吸引子称之为不稳二维环面.而图5(b)中，系统随变量y(0)变化时，Lyapunov指数均满足(+,0,-)的分布，说明系统始终处于混沌态.

图5 初值变化的Lyapunov指数谱

进一步分析发现，系统(1)在取得混沌态的初值范围内也具有不同的动力学行为.系统在随变量x(0)变化时，共得到4种吸引子，如图6所示，这里只给出了y-z截面的吸引子图.其中，图6(b)为在x(0)=0处得到的不稳二维环面，图6中，(a)、(c)、(d)为在x(0)∈[-0.50,0.00)∪(0.00,0.50]范围内得到的3种不同形状的混沌吸引子，且(a)、(d)两种吸引子具有对称性.表1列出了图6所得的吸引子与初值的对应情况.

图6 初值x(0)影响下的共存吸引子

表1 初值x(0)变化与吸引子对应表

4 电路实现

利用电阻、电容、运算放大器LM347N和模拟乘法器AD633对系统(1)进行电路实现.令τ0t→t，τ0是时域尺度变换因子，且τ0=1 000，参数a=1.0，b=5.0，则式(1)可改写为：

(3)

图7给出了具体的模拟电路原理图，由5个运算放大器、4个模拟乘法器及若干电阻、电容构成反相电路、模拟乘法电路及反向积分电路组成.由图7所示电路可将式(3)改写为：

(4)

图7 模拟实验电路原理图

图7中构成积分器的电容C1=C2=C3=10 nF，构成反相器的电阻R1=R2=R7=R8=10 kΩ,根据式(4)可推得电阻理论值R3=R5=100 kΩ,R4=R6=R9=R10=10 kΩ，实际电路中R6的阻值为10.8 kΩ.实验结果如图8(a)，(b)，(c)所示，分别为x-y截面、x-z截面及y-z截面的混沌吸引子，图8(d)为实验电路与示波器连接图.可见，8(c)中吸引子与图6(d)中的混沌吸引子类型一致.因为设计电路时只能根据参数确定电阻阻值，而初值是不确定的，所以得到的吸引子必然是图6中的其中一组.

图8 实验结果

5 NIST伪随机测试

美国国家技术标准局NIST推出了一种二进制序列随机性测试标准，采用该测试技术对新系统及Lorenz混沌系统序列进行随机性测试，各抽取长度为10亿的二进制序列，令显著性水平α=0.01，分组m=1 000，则置信区间为(0.980 56，0.999 44).若序列的随机性良好，则要满足所有项测试结果的均匀性大于显著性水平0.01，且通过率处于置信区间内.NIST测试结果如表2所示.

表2 NIST测试结果

由表2可知，新混沌系统与Lorenz系统的二值序列的15项测试结果说明两个混沌系统的序列是满足均匀分布的，且随机性良好.统计得出，新系统测试结果中，P-VALUE值中有11项大于Lorenz系统，PROPORTION值中有9项大于Lorenz系统，因此，整体上新系统的伪随机性优于Lorenz系统.

6 结束语

本文分析了参数对系统动力学特性的影响及系统多稳定性，获得了三种混沌吸引子及一种不稳二维环面，并通过模拟电路获得了新系统的一种混沌吸引子.混沌吸引子与极限环共存是比较常见的共存现象，而本文设计的新系统的特点是存在不稳二维环面，没有极限环与稳定点吸引子.不稳二维环面是新系统中存在的特殊吸引子，其他混沌系统在特定的参数及初值组合下也有可能获得此种吸引子.新系统的研究证明了初值是影响系统状态的重要因素，可利用特殊参数及初值组合获得具有随机性良好的混沌序列应用在加密等领域.

[1]LORENZ E N. Deterministic Nonperiodic Flow[J]. Journal of the Atmospheric Sciences, 1963,20(2):130-141.

[2]王聪,张宏立.基于原对偶状态转移算法的分数阶多涡卷混沌系统辨识[J].物理学报,2016,65(6):52-60.

[3]赵益波,张秀再,孙心宇,等.基于Weiner模型超混沌lü系统的自适应辨识[J].物理学报,2014,63(13):130503.

[4]张国山,胡雪兰.具有恒Lyapunov指数谱的新三维混沌系统分析与电路实现[J].大学物理,2016,35(3):34-39.

[5]李春彪,王翰康,陈谡.一个新的恒Lyapunov指数谱混沌吸引子与电路实现[J].物理学报,2010,59(2):783-791.

[6]王光义,袁方.级联混沌及其动力学特性研究[J].物理学报,2013,62(2):20506.

[7]BAO B C, LI Q D, WANG N, et al. Multistability in Chua’s circuit with two stable node-foci[J]. Chaos An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2016,26(4):043111.

[8]CHUNBIAO LI J C. Sprott. Coexisting Hidden Attractors in a 4-D Simplified Lorenz System[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2014,24(3):1450034. DANG X Y, Li C B, BAO B C. Complex transient dynamics of hidden attractors in a simple 4D system[J]. Chinese Physics B, 2015,24(5):270-274.

[9]CENCINI M, CECCONI F, VULPIANI A. Chaos: from simple models to complex systems[J]. Geier, 2009,15(3):916-923.

A New Chaotic System and Its Coexisting Attractors

SHI Chuanbao, WANG Guangyi, ZANG Shouchi

(SchoolofElectronicInformation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In order to further study the characteristics of chaotic system, a three-dimensional continuous chaotic system with multi-stability is proposed. The influence of parameters on the dynamic characteristics of the system is introduced by equilibrium point, Lyapunov exponent, bifurcation diagram and dynamic map. When parameters are fixed, the Lyapunov exponent spectrum of varying initial value is analyzed, and a variety of coexisting attractors are obtained. The simulation circuit is designed to realize the system, and the experimental results are in agreement with the simulation results. The NIST random test is carried out on the two value sequence of the chaotic system, which is better than the Lorenz system for the random properties. It can be used as a random signal source for information encryption and secure communication.

3D chaotic system; dynamic map; coexisting attractor

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.001

2016-11-09

国家自然科学基金资助项目(60971046,61281230357);浙江省自然科学基金重点资助项目(LZ12F01001)

史传宝(1990-)，男，山东济南人，硕士研究生，非线性电路与智能信息处理.通信作者：王光义教授，E-mail:wanggyi@163.com.

TN401

A

1001-9146(2017)04-0001-05