一题十解 拓展思路

晏洪利

同学们在数学学习中积累了很多知识和方法，一题多解正是我们运用数学知识解决问题所追求的更高境界。

例如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，AD=4，求三角形ABC的最大面积。

一、换元思想

方法一：

設AC=2x，则有BD=DC=X，设∠ABC=？兹，根据余弦定理有

方法二：由余弦定理

二、设辅助角

方法三：引用方法二中得出的

三、用万能置换公式解题

方法四：

四、函数思想

方法五：

五、重要结论

方法六：如图3，作CH⊥AB，H为垂足，

六、等面积法

方法七：如图5

七、重要定理公式（海伦公式）

方法八：此处用到了阿波罗尼奥斯定理，亦称中线长公式，表述三角形三边和长度关系，三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的三倍。

如图6，设BC为m，AB长为n，由中线定理，

方法九：一个三角形，三边长为a，b，c

方法十：数学背景阿波罗尼奥斯圆：

已知A，B两个顶点，一动点P到A，B的距离比■=？姿（？姿>0，？姿≠1），则P点的轨迹为圆，这个圆就是阿波罗尼奥斯圆，并且圆心在A，B边线上如图6，设dN=x

通过一题多解的练习，不仅可以巩固知识，更能训练学生思维，开拓视野。