两自由度舵--轴系统振动三维效应修正模型1)

王人凤尤云祥,2)陈科段金龙

∗(上海交通大学高新船舶与深海开发装备协同创新中心,上海200240)†(上海交通大学海洋工程国家重点实验室,上海200240)

动力学与控制

两自由度舵
--轴系统振动三维效应修正模型1)

王人凤∗,†尤云祥∗,†,2)陈科∗,†段金龙∗,†

∗(上海交通大学高新船舶与深海开发装备协同创新中心,上海200240)†(上海交通大学海洋工程国家重点实验室,上海200240)

考虑到小展弦比舵所存在的三维效应，利用附加质量系数ε和环量系数δ对经典Theodorsen两自由度运动方程进行修正，并与经典颤振实验结果进行比较，验证了修正后两自由度运动方程的适用性.质量比µ的不同会引起两自由度舵--轴系统振动V--g曲线形态的差异，故根据V--g曲线形状的不同将系统的振动分为第一类振动和第二类振动，其对应情况下可能发生的颤振为第一类颤振和第二类颤振.利用修正后的两自由度颤振理论模型分析了支撑刚度kh、扭转刚度kα、舵弦向重心位置xα和初始攻角AOA对舵--轴系统颤振特性的影响规律，并通过开展相关实验对理论计算值进行验证，实验结果与计算值吻合良好.计算结果表明，kh,kα,xα和AOA对颤振速度VF存在显著影响，它们可以分别在一定的取值范围内导致系统发生第二类颤振.并且，VF随kh的增大单调增大，随kα和xα的增大先增大再减小，随AOA的增大则逐渐减小.其中，令VF存在非零值的xα取值范围狭小，反映了系统振动形态对xα的敏感性.因此，在设计阶段避免将xα设置在这个狭小的范围内可以降低颤振的发生几率.另一方面，由于VF对kh和kα的反应缓慢，一旦颤振发生就可以通过将刚性轴锁紧来消除颤振效应.

两自由度系统，颤振，低质量比，实验

引言

颤振是一种动不稳定现象.升力体在航行过程中受到扰动后会发生振动，但由于结构阻尼的作用，在航行速度很小时振动会逐渐衰减.当航行速度增大到一定值，扰动所引起振动的振幅恰好维持不变，这种现象称为颤振.此时的速度即为临界颤振速度，简称颤振速度.颤振是一种自激振动，是由颤振运动自身所导致的流体动力激励所产生[15].Jewell以舵--轴系统为研究对象，通过大量实验证明在空气动力学中得到广泛应用的Theodorsen两自由度运动方程同样适用于水下升力体[6].两自由度运动包含两个运动成份，其中系统在垂向回复力作用下的往复运动为沉浮运动成份，而在回复力矩作用下绕轴的回转运动为俯仰运动成份[78].颤振现象会严重影响水翼的操控性，甚至造成结构损毁[911].

张瑜[12]利用两自由度运动方程分析了结构参数对二元机翼颤振特性的影响.结果表明，保持系统其他结构参数不变，则颤振速度随支撑刚度的增大而减小，随扭转刚度的增大呈线性增大.颤振速度随着重心的位置增大而减小，即重心后移会导致颤振速度降低，重心前移可以明显提高颤振速度.颤振速度随着刚心的后移而减小，当重心在刚心之前时系统不会发生颤振.考虑的所有参数中，扭转刚度的变化对颤振速度的影响最显著.Ducoin等[1315]利用实验与数值模拟相结合的方法对水翼的流致振动特性进行的研究结果表明，对于刚性水翼，当初始攻角较小时其振动幅度因层流分离所产生的漩涡而增大；当初始攻角较大时，水翼的振动幅度因前缘涡脱离而增大.刚性水翼的振动总体较小并且不受漩涡脱落的影响.而对于柔性水翼，振动特性表现得更为明显，并且当层流分离涡脱落的频率接近水翼的固有频率时会出现共振现象.Strand和Liebeck[16-17]利用Theodorsen理论得到了不可压缩流体中高升力机翼的设计方法,实现了解决机翼反问题的精确计算方法，即在已知表面速度分布的条件下求解翼型.Hsiun等[1820]在此基础上开展了针对地面效应中机翼参数的数值研究.Bellamy[21]利用微扰理论解决了势流中表面奇点的求解问题，但该线性理论存在一定的局限性.Lottati等[2226]利用以Theodorsen气动弹性理论为基础的样条方法和机翼理论求解了箱型梁、Timoshenko梁(纵横弯曲梁)以及薄壁梁的颤振特性，验证了该方法的广泛适用性.在此基础上，Song等[2728]进行了复合材料机翼颤振预测以及颤振参数方面的研究.肖清等[29]利用两自由度系统运动方程研究了质量比、频率比以及重心位置对舵系统水弹性特性的影响.结果表明，在其他结构参数不变的前提下，舵系统存在一个临界质量比，当系统的质量比小于临界质量比时，质量比的增大会导致系统颤振速度迅速增大；而当系统的质量比大于临界质量比时，颤振速度随着质量比的增大而减小.将重心设置得更靠近刚心会显著提高系统的颤振速度，因此可以采用向水翼前缘适当增加配重的方法来降低舵系统发生颤振的几率.当重心比较靠近舵的后缘时，系统沉浮与俯仰运动固有频率比的增大会引起颤振速度的单调增大；当重心比较靠近舵的前缘时，颤振速度随着频率比的增大先减小再增大.Chu和Abramson[30]针对SwRI颤振模型在实验中发生损毁的现象，分析了Reissner-Stevens二维颤振理论模型在预测颤振速度时失效的原因.传统的理论模型曾经考虑使用诸如Kutta条件的松弛因子，但是并没有得到准确预测颤振速度的理论模型，只是通过改变相位角而推导出一个半经验方法.其在样条分析方法基础上，通过引入Kutta条件、升力线斜率以及压力中心等来探索提高此样条分析方法精确度的途径.分析结果表明，适当选择Kutta参数可以提高颤振速度以及相应颤振频率理论值的准确度.对于同SwRI颤振模型具有相似参数特点的结构而言，升力线斜率和压力中心的变化会显著影响其颤振速度和颤振频率.通过将多种理论的计算值进行比较发现，利用将松弛因子与升力线斜率和压力中心相结合的方法可以准确预测SwRI模型的颤振特性，但是在其他模型上的应用还需要进一步的分析和研究.

当升力体的展弦比较小时，为提高数值解的准确度，在应用两自由度系统运动方程分析系统颤振特性时，需要考虑三维效应.鉴于此，对经典理论模型进行了相应的参数修正，并利用Jewell的实验数据验证其有效性.此外，通过开展相关实验，进一步发现结构参数变化对舵--轴系统振动特性可能存在的影响规律.

1 小展弦比两自由度系统运动方程及验证

1.1 小展弦比两自由度系统运动方程

图1为两自由度舵系统的常见简化模型，舵的展长为l，半弦长为b.舵的展向中截面弦中点到刚心的距离占半弦长的百分比为¯α(刚心在弦中点之后时为正).假设m为系统质量，xα为舵重心到刚心的距离(重心在刚心之后时正)，则Sα=mxα为系统对刚心的质量静矩.系统的弹性机制由两部分组成，一部分来自支撑弹簧，系统的支撑刚度为kh；另一部分来自扭转弹簧，系统的扭转刚度为kα.在流体动力的激励作用下，舵--轴系统会产生两个自由度的运动，一个是舵--轴部件的沉浮运动，位移为h，向下为正；另一个是舵随刚性轴转动而产生的俯仰运动，俯仰角度为α，迎流抬头为正.

图1 有限展长舵的两自由度振动理论计算模型Fig.1 Two-degree-of-freedom vibrationmechanicalmodel fora foil w ith a finit span

沉浮位移h和俯仰角度α满足如下运动方程

式中，L为水动升力(向上为正)，M为俯仰力矩(迎流抬头为正)，Iα为系统的转动惯量，为系统沉浮运动的固有频率，为系统俯仰运动的固有频率.

当来流速度V∞与临界颤振速度VF相等时，舵--轴系统将以圆频率ω作简谐振动，即

相应的升力及俯仰力矩可写为

将式(3)和式(4)代入式(1)和式(2)，可得

考虑小展弦比舵的三维效应，对Theodorsen理论进行修正.有限展长舵的升力及俯仰力矩为

其中

式(11)中，k=ωb/V∞为折合频率，V∞为流速，ρw为流体的密度，C(k)为Theodorsen函数，可写为

式(11)和式(12)中，ε为附加质量修正系数，δ为环量修正系数，可分别表示为

将运动方程(5)和(6)改写为矩阵方程形式，有

V--g法是两自由度系统颤振分析的常用方法之一.此方法中，假设系统阻尼为0，并在系统运动方程中引入人工阻尼g，从而式(16)可改写为

将上述方程写为广义特征值方程，有

其特征值为

由此可得

由于k=ωb/V∞，因此可得

利用V-g法进行两自由度系统颤振分析的具体方法如下：通过求解广义特征方程(18)，得到每个折合频率k下的V∞,ω和g值，并绘制V∞--g和V∞--ω曲线；当g=0时，系统处于临界状态，系统恰好发生颤振，此时的来流速度即为临界颤振速度VF，ω为相应的颤振频率.经典颤振理论认为：当g＜0时，需要向系统施加一个负阻尼，即施加激振力才能使系统进行简谐振动，此时系统作衰减运动；而当g＞0时，需要向系统施加阻尼才能作简谐振动，因此系统作发散振动.

1.2 经典实验验证

Jewell利用Taylor水池针对刚性舵--轴部件的颤振问题进行了实验研究，证实了在某些情况下舵--轴系统可能发生颤振.其实验中所使用的模型为等截NACA0015水翼，展弦比AR=2，并将水翼1/4弦长处与刚性轴固定连接.分别使用一个弹性钢片和一个大型弹簧合页等效模拟系统的支撑刚度和扭转刚度，实验模型系统参数如表1所示.舵--轴部件由拖车拖曳过程中，在水动升力和俯仰力矩作用下，舵发生沉浮和俯仰两个自由度的运动.舵的附加质量参数ε=0.895，环量参数δ=0.84.

表1 Jewell颤振实验参数Table1 Parametersof thehydrofoil-rod system used by Jewell

图2为Sα=13.0N·s2对应的V--g曲线，当V∞＜6.13m/s时系统进行衰减运动，即运动幅度会逐渐减小直至达到稳定状态；当V∞=6.13m/s时系统将发生颤振，在忽略阻力的情况下系统将进行无衰减的等幅运动；而V∞＞6.13m/s时系统进行发散运动，运动幅度将不断扩大.通过图2(b)可以得到颤振速度所对应的颤振频率.

图2 Sα=13.0N·s2时的系统振动V--g曲线Fig.2 Computed V--g curves for vibrationsof the system at Sα=13.0N·s2

不同Sα取值下，临界颤振速度VF以及对应颤振频率fF的理论值与试验值比较如图3所示.可见，除Sα=10.0N·s2外，VF的理论值与试验结果吻合良好，最大相对误差为5.8%，并且VF随着Sα的增大而减小.当Sα=10.0N·s2时，VF理论值与试验结果的误差为14.14%.fF的理论值与试验值也吻合良好，最大误差为6.4%，fF随着Sα的增大而增大.

图3 颤振速度VF和频率fF理论值与试验值的比较Fig.3 Computed and experimentalvaluesof VFand fF

2 实验方法

舵--轴系统流致振动特性实验在上海交通大学重力式水洞进行.该水洞工作段长为6.0m，横截面为0.7m×0.7m的正方形，最高流速为5m/s，流速不均匀度小于1%，紊流度小于0.5%.

舵的截面为NACA0017，由塑料制成，展长为0.39m，舵根截面弦长为0.3m，舵稍截面弦长为0.2m.其内部为空心，内部放置有配重铅块.将舵模型重心的展向位置调节到中截面上，取中截面的半弦长作为两自由度系统运动方程中b的参考值，则舵的展弦比AR=1.56.模型系统的主要参数如表2所示，而舵--轴部件的质量通过选择合适的配重铅块,设置为7.6kg，则舵--轴部件的质量比为0.4.

将三轴加速度传感器固定在舵上表面对应刚心处，并对其进行水密处理，从而可以得到舵的振动数据.在扭转弹簧的固定杆件上放置有多个单轴加速度传感器，可以监测舵的俯仰运动.测量仪器配置如图4所示.

表2 舵--轴模型系统振动特性实验工况Table 2 Parameter setting up of the experiment for the hydrofoil-rod system

图4 舵--轴系统振动测量示意图Fig.4 Schematic of themeasurementof vibrations for thehydrofoil-rod system

3 结果与分析

3.1 支撑刚度kh的影响

为了研究支撑刚度kh对舵--轴系统流致振动特性的影响，在实验中选取了3组弹性系数不同的压缩弹簧(支撑弹簧)，相应的系统支撑刚度kh分别为3.6×105N/m,6.0×105N/m和1.4×106N/m.扭转刚度、重心位置和初始攻角分别保持kα=282N·m/rad,xα=0.04m,AOA=5°不变.在3种不同支撑刚度情况下，都监测到了系统沉浮运动幅值的波动.利用两自由度系统振动理论计算相应工况下舵--轴系统的颤振速度，对应的V--g曲线如图5所示.可见，对于实验中每一种支撑刚度的情况，都存在一个临界航速VF，当V∞＜VF时，沉浮运动成份所对应的g为正，这时系统是稳定的；当V∞=VF时，沉浮成份所对应的g=0，即为临界颤振点，这时系统将发生颤振；当V∞＞VF时，沉浮分支所对应的g为负值，这时系统进行发散振动.

该舵--轴系统的质量比为µ=0.4，约为Jewell实验模型质量比的1/16.对于高质量比的舵--轴系统，存在一个临界航速VF，当V∞＜VF时，沉浮分支所对应的g＜0，系统是稳定的；当V∞=VF时，沉浮分支所对应的g=0，系统将发生颤振；当V∞＞VF时，沉浮分支所对应的g＞0，系统作发散振动.Jewell实验中舵--轴系统振动V--g曲线的形态与本舵--轴系统恰好相反.据此，将前者称为第一类振动，对应的颤振称为第一类颤振；将后者称为第二类振动，与之相对应的是第二类颤振.

图5 不同支撑刚度kh下，舵--轴系统振动V--g曲线,其中扭转刚度kα=282N·m/rad，重心位置xα=0.04m，初始攻角AOA=5°Fig.5 Computed V--g curves for vibrationsof thehydrofoil-rod system for di ff erentvaluesof khat kα=282N·m/rad,xα=0.04m and AOA=5°

可见，实验模型系统在3种支撑刚度下的振动都是第二类振动.并且kh=3.6×105N/m,6.0×105N/m,1.4×106N/m时，系统分别在V∞=1.12m/s,1.66m/s和2.37m/s时发生颤振，这与实验中监测到系统沉浮运动幅度发生波动时的流速基本吻合.

利用两自由度系统振动理论求解支撑刚度kh在范围[1.0×105N/m，4.0×106N/m]内变化时舵--轴系统遭遇第二类颤振时的流速VF.如图6所示，当kh＜2.5×105N/m时，系统的振动属于第二类振动的衰减振动；而当kh≥2.5×105N/m时，系统的振动仍然属于第二类振动，但是首先处于衰减振动区,在某个流速VF下，系统由衰减振动过渡为发散振动.并且，此VF随着支撑刚度kh的增大而逐渐增大，但是VF并不是呈线性增大，当2.5×105N/m＜kh＜1.0×106N/m时，VF增大的速度较快；当kh≥1.0×106N/m时，VF增大的速度逐渐减慢，曲线变得相对平缓.

图6 不同支撑刚度kh下，舵--轴系统振动实验值与计算值对比图.扭转刚度kα=282N·m/rad，重心位置xα=0.04m，初始攻角AOA=5°Fig.6 Computed VFand experimental VFfor variousvaluesof khof the hydrofoil-rod system at kα=282N·m/rad xα=0.04m and AOA=5°

不同支撑刚度kh下，舵--轴系统振动频率的实验值和计算值如表3所示，其中沉浮频率fh的实验值与计算值吻合良好，而俯仰频率fα的实验值与计算值存在较大误差.fh和fα均随着kh的增加而增大.

表3 比较不同支撑刚度kh下振动频率的实验值与计算值Table 3 Computed and experimentalvaluesof fhand fαfor various kh

图7 不同扭转刚度kα下舵--轴系统振动实验值与计算值对比,其中支撑刚度kh=1.4×106N/m，重心位置xα=0.04m，初始攻角AOA=5°Fig.7 Computed VFand experimental VFfor various valuesof kαof the hydrofoil-rod system at kh=1.4×106N/m,xα=0.04m and AOA=5°

3.2 扭转刚度kα的影响

选取支撑刚度kh=1.4×106N/m、重心位置xα=0.04m、初始攻角AOA=5°，利用两自由度系统振动理论求解扭转刚度kα在范围[100N·m/rad，1800N·m/rad]内变化时舵--轴系统发生第二类颤振时的流速VF.如图7所示，当kα＜1600N·m/rad时，系统首先在较低流速下进行衰减振动，当流速增加到一定值VF时，其振动状态过渡为发散振动，并且VF随kα的增大先增大后减小，这与实验结果相吻合.具体地，当kα＜650N·m/rad时，VF随着kα的增大而增大，并在kα=650N·m/rad时达到最大值2.59m/s；650N·m/rad＜kα＜1600N·m/rad时，VF随着kα的增大而减小，并且减小的速度越来越快；而kα≥1600N·m/rad时，系统只会发生第二类衰减振动.

不同扭转刚度下，舵--轴系统振动频率的实验值和计算值如表4所示，沉浮频率fh和俯仰频率fα均随着kα的增加而增大.

3.3 重心位置xα的影响

利用两自由度系统振动理论求解支撑刚度kh=1.4×106N/m、扭转刚度kα=282N·m/rad、初始攻角AOA=5°，舵重心到刚心的距离xα在范围[-0.04m，0.14m]内变化时,舵--轴系统的临界颤振速度VF，结果如图8所示.

表4 比较不同扭转刚度kα下振动频率的实验值与计算值Table4 Computed and experimentalvaluesof fhand fαfor various kα

图8 不同重心位置xα下，舵--轴系统振动实验值与计算值对比,其中支撑刚度kh=1.4×106N/m，扭转刚度kα=282N·m/rad，初始攻角AOA=5°Fig.8 Computed VFand experimental VFfor variousvaluesof xαof the hydrofoil-rod system at kh=1.4×106N/m,kα=282N·m/rad and AOA=5°

可见，VF存在的范围很小，只限于xα落在范围[0.03m，0.06m]内时.在此范围内，VF先随xα的增大而增大，并在xα=0.047m附近时达到最大值2.79m/s.此后，随着xα的增大VF反而减小.并且VF对xα的变化非常敏感，xα变化1mm都会对VF产生很大影响，尤其是在xα=0.03m和xα=0.06m附近，xα的细微变化甚至决定着系统是否会发生颤振.xα=0.04m和xα=0.05m时的理论值和实验值比较吻合.而当xα=0.03m时，理论上系统不会发生颤振，但实验中系统的振幅在V∞=1.5m/s时出现了波动，即从实验现象上系统的振动状态从衰减振动过渡到发散振动.与Jewell的实验结果类似，当重心到刚心的距离最小时出现较大误差，且实验值大于理论值.分析xα=0.03m时实验值与理论值不符的原因，有可能是在测量舵重心的时候出现了误差，舵的实际重心到刚心距离有可能稍大于测量值.也有可能当重心过于接近刚心时会导致转动惯量出现较大误差，有待于后续研究中进行验证.

3.4 初始攻角AOA的影响

利用两自由度系统振动理论求解支撑刚度kh=1.4×106N/m、扭转刚度kα=282N·m/rad、重心位置xα=0.04m，初始攻角AOA变化范围为[-20°，20°]时舵--轴系统的临界颤振速度VF，计算结果如图9所示.可见，VF随AOA的变化曲线在区间[-20°，0°]和[0°，20°]内呈对称分布.对于实验中使用的模型，在[0°，20°]内系统发生颤振时的流速VF随初始攻角AOA的增大而逐渐减小.当初始攻角较小时，VF的变化幅度很小，尤其是初始攻角在[0°，10°]内时，VF都是2.3m/s附近；当初始攻角较大时，即AOA＞15°时，VF迅速减小，当AOA=20°时VF消失.可以看出，实验值与理论计算值基本吻合.

图9 不同初始攻角AOA下舵--轴系统振动实验值与计算值对比,其中支撑刚度kh=1.4×106N/m，扭转刚度kα=282N·m/rad，重心位置xα=0.04mFig.9 Computed VFand experimental VFfor variousvaluesof AOA of thehydrofoil-rod system at kh=1.4×106N/m,kα=282N·m/rad and xα=0.04m

4 结论

对Theodorsen两自由度系统振动理论模型进行参数修正，并将计算结果与Jewell的实验值进行比较发现，方程引入附加质量参数ε和环量参数δ后可以使针对小展弦比模型的计算值与实验值较好地吻合.基于修正后的两自由度系统振动理论模型，结合实验分析了不同参数的变化对舵--轴系统振动形态的影响.结论如下：

(1)依据V--g曲线形态的不同，可以将舵--轴系统可能发生的颤振分为两类，即第一类颤振和第二类颤振.系统的质量比µ是决定系统进行第一类颤振还是第二类颤振的主要因素.具有较高质量比的系统通常会发生第一类颤振，而对于质量比较低的系统，系统所发生的颤振一般属于第二类颤振，其振动V--g曲线向上凸.即在一定参数条件下存在一个临界颤振速度VF，当V∞=VF时，系统发生第二类颤振.并且，当V∞＜VF时，系统是进行衰减振动；V∞＞VF时，系统进行发散振动.

(2)通过开展舵--轴系统流致振动实验，验证了修正后两自由度系统振动理论模型的准确性，并且实验结果与理论值吻合良好.在实验中，支撑刚度kh、扭转刚度kα、舵弦向重心位置xα和初始攻角AOA均可调节.在临界颤振速度VF存在的范围内，随着kh的增大，VF不断增大，但是增大的速度会逐渐减慢.随kh和xα的增加，VF均先增大后又减小，但是令VF存在的xα范围明显狭小得多.虽然在给定的AOA范围内系统都可能发生颤振，即都存在，并且VF随AOA的增大而减小，但是由于实验主要研究系统在较小初始攻角下的振动特性，所以无论从系统是否发生颤振还是从VF变化范围的角度，AOA的影响都不明显.

(3)通过分析不同参数变化对VF产生的影响发现,在舵--轴系统结构的主要参数中，重心位置xα的细微变化都有可能引起VF迅速增大或减小，这提高了舵--轴系统作为水下航行操纵装置的可行性和实用性.正是由于VF只会出现在xα的狭小区域内，因此可以在设计过程中避开这些区域，从而减少导致系统颤振发生的因素.而对于使VF存在范围较广的支撑刚度kh和扭转刚度kα，由于VF对其反应相对缓慢，一旦系统发生颤振，可以通过连动液压装置将刚性轴锁紧以消除颤振效应，实现舵--轴系统的有效操控.

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A MODIFIEDMODEL FOR THE VIBRATIONSOFA TWO-DEGREE-OF-FREEDOM HYDROFOIL-ROD SYSTEM CONSIDERING 3D EFFECT1)

Wang Renfeng∗,†You Yunxiang∗,†,2)Chen Ke∗,†Duan Jinlong∗,†∗

(Collaborative Innovation CenterforAdvanced Ship and Deep-Sea Exploration，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai200240，China)†(State Key Laboratory ofOcean Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai200240，China)

The classical Theodorsen equation for themotionsof two-degree-of-freedom foils ismodifie w ith associated mass parameterεand circulation parameterδby considering the 3D e ff ect of low aspect ratios,and the comparison between the calculation and classicalexperimental values demonstrates themodifie equation ise ff ective.According to the shape of V--g curve which variesw ith themass ratioµ,two types(Type Iand Type II)of flutte are defined The influence of the bracing sti ff ness kh,the torsional sti ff ness kα,the locations of the center of gravity xαand the angle of attack AOA on the characteristics of the flutte of a hydrofoil-rod system have been analyzed,and the comparison w ith experimentalvaluesshows that thenumerical resultsare reasonable.The calculation shows the significan impactsof kh,kα,xαand AOA on the flutte speed VF.When the valuesof the parametersare in certain ranges respectively,flutte TypeIImay occur.Specificall,a larger khora smaller AOA leads into a larger VF.While,VFfirs increasesand then decreases w ith the increase of kαor xα.Moreover,VFonly exists in a relatively narrow rangeof xα,which reflect that the vibration pattern of the hydrofoil-rod system is high sensitive to xα.Therefore,the probability of the occurrence of flutte can be reduced by avoiding thenarrow rangeof xαduring design phase.On theotherhand,according to the slow reaction of VFto khand kα,once flutte occurs,flutte can beelim inated by locking the rigid shaftw ith hydraulic devices.

two-degree-of-freedom system,flutte,low mass ratio,experiment

U661.1

A

10.6052/0459-1879-17-042

2017-02-17收稿，2017-04-27录用,2017-04-27网络版发表.

1)国家自然科学基金(11272211)、国家重大基础研究计划(2015CB251203)资助项目.

2)尤云祥，教授，博导，主要研究方向：内波水动力学.E-mail：youyx@sjtu.edu.cn

王人凤,尤云祥,陈科,段金龙.两自由度舵--轴系统振动三维效应修正模型.力学学报,2017,49(4)：920-928

Wang Renfeng,You Yunxiang,Chen Ke,Duan Jinlong.Amodifie model for the vibrationsof a two-degree-of-freedom hydrofoil-rod system considering 3D e ff ect.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：920-928