比较思维在初三数学总复习中的几个应用

黎伟克

【摘 要】在紧张的初三数学总复习中，提高课堂教学效率是初三数学后期教学工作的重中之重。在课堂教学中适时运用比较思维，既能帮助学生更好、更快、更系统地掌握数学知识，又能提高学生的思维能力和解决问题的能力，自然能够提高复习效率。

【关键词】比较思维；初三数学总复习；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）18-0077-02

现行中考时间都在六月，而初三教学内容难度大，知识点多，教学时间紧；初三内容又是中考的重点、难点所在。很多学校在没有增加教学时间的前提下，要保质、保量地完成教学内容就已捉襟见肘，遑论有充裕时间进行总复习。因此，在进行初三数学总复习时如何提高课堂复习效率便成为初三数学教学面临的重大课题。在多年的初三教学工作中，笔者发现，适时运用比较思维，将数学知识、数学方法系统化，帮助学生更快、更有效地进行复习，有利于提升教学效率。

比较思维，就是寻求事物之间的相同点和不同点的思维方法。简言之，“同中求异”，“异中求同”。前者求异思维，后者求同思维；前者要求善于抓住事物的个性，有利于把握事物的特征，后者善于抓住事物的共性，有利于把握事物的本质。只有抓住事物的个性与共性，才能深刻地理解事物。在进行初三数学总复习时，利用比较思维，可以将零散的知识点串成知识串，可以培养学生的观察力，以及分析问题、解决问题的能力。下面从几个方面来说明比较思维在初三数学总复习中的应用。

一、在相近概念的复习中运用比较思维

概念是反映客观事物本质属性的思维形式。很多学生在进行概念的学习时，只是停留在词语、形式的记忆上，而未真正掌握概念的内涵和外延。因此，在进行数学总复习时，将相近的概念放在一起复习，有助于加深对概念的理解，有助于区别这些概念，从而达到更好、更准确理解的目的。

1. 在复习互为余角，互为补角概念时，我们进行求同思维：都是对两个角而言，都是描述两个角的数量关系，与这两个角的位置无关；我们求异思维：只有锐角才有余角，锐角，直角，钝角都有补角。互余两角是指它们的和为90°，互补两角是指它们的和为180°，即若该角为α，它的余角为：90°-α，而补角为180°-α。

2. 在复习轴对称图形和轴对称的概念时，我们进行求同思维：都能沿一条直线折叠，直线两旁的图形能完全重合，这条直线都叫图形的对称轴；我们进行求异思维：轴对称图形是對一个图形而言，它描述的是一个几何图形的性质。而轴对称是对两个图形而言，描述的是两个全等图形具有特殊的位置关系。若将两个成轴对称的图形视为一个图形，它就是一个轴对称图形。

3. 在复习矩形、菱形概念时，我们进行求同思维：它们都是平行四边形；它们都具有平行四边形的所有性质，对边分别平行且相等，对角分别相等，对角线互相平分，都是轴对称图形。我们进行求异思维：矩形是有一个角是直角的平行四边形，或是对角线相等的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形，或是对角线互相垂直的平行四边形。

这样，通过对相近概念进行比较，既能避免学生混淆概念，又能加深对这些概念的理解，复习时学生也容易掌握。

二、在相近性质的复习中运用比较思维

1. 在复习全等图形的性质和相似图形的性质时，我们求同思维：他们描述的是两个图形形状相同，对应角相等。我们求异思维：全等图形的对应边，对应线段（对应边上的高线，对应边上的中线，对应角的角平分线，对应的对角线），周长，面积相等。而相似图形的对应边，对应线段，周长都成比例，面积的比等于对应边的比的平方。

2. 在复习平方根和立方根性质时，我们求同思维：一个数平方根的平方等于这数本身，一个数立方根的立方等于它本身。0的平方根、立方根都是0。我们求异思维：一个正数有两个平方根，他们互为相反数。负数没有平方根；一个任意实数都有唯一的一个立方根。一个数平方的平方根等于这个数的绝对值，而一个数立方的立方根等于这个数。

在教学中，教师若能将这些相近知识比较起来复习，学生就很容易掌握它们性质的异同，既能区分，还可以加深对这些性质的理解。

三、在一题多变的练习中应用比较思维

高效的复习课堂追求的目标是通过少而精的习题教学，既能巩固学生所学知识，又能使学生的数学思维能力，分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力得到较高程度的提升。

一题多变是跳出题海战术的好的途径。一题多变是指在一道题的基础上，改变部分条件或是数字，从而变为一个新的问题，它正是在掌握例题典型性的基础上，充分发挥例题的可变性，通过条件的变化和问题的改换，使知识向纵向和横向延伸。这对于防止学生思维的呆板，摆脱思维定势的羁绊，都是极其有益的。它可以很好地利用一个素材，培养学生的观察能力，使之善于发现问题的联系与区别，达到掌握和消化多个知识的目的，自然也能够提升初三数学总复习的效率。

例1. 在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB。BI，CI交于点I，若∠BAC=70°，则∠BIC的度数是多少？

在解决这一问题后，提出如下变形问题：①若BI，CI分别是△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线，BI，CI交于点I，若∠BAC=70°，则∠BIC的度数是多少？

例2. 在三角形ABC中，BI平分∠ABC，CI平分△ACB的外角∠ACD，BI， CI交于点I，若∠BAC=70°，则∠BIC的度数是多少？

通过观察、分析发现，第一个问题可以通过角平分线的定义，以及三角形内角和求出∠BIC的度数。后面两个问题虽然条件发生了变化，但是解决问题的思路、方法和前一个问题类似。所以在复习时，只需引导学生在求同、求异思维的基础上进行观察、比较、联想，就能够找到解决问题的突破口，从而实现举一反三，触类旁通。

这样的例子还有如下：已知，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是什么特殊四边形？

通过观察和分析，不难得出四边形是平行四边形。可以考虑连接AC，利用三角形的中位线知识说明EF，GH都和AC平行，都等于AC的一半，从而说明EF，GH既平行又相等，则四边形EFGH就是平行四边形了。

此后可以提出以下问题：①在上一个问题中，四边形ABCD的对角线AC=BD，其余条件不变，四边形EFGH是什么特殊的四边形？ ②若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，其余条件不变，四边形EFGH是什么特殊的四边形？ ③若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且AC=BD，其余条件不变，四边形EFGH是什么特殊的四边形？

后面的几个问题经过比较可知，它们都是连接四边形各边中点得到的四边形，它们都应该是平行四边形。进行求异思维：①中利用三角形中位线知识可以知道，EH= BD， EF= AC，当AC=BD时，EF=EH，四边形就是菱形。②中由AC⊥BD，利用平行四边形的性质可以说明∠HEF=90°，从而说明四边形是矩形。③中AC⊥BD，且AC=BD，利用前面结论，可以知道四边形既是矩形又是菱形，所以它是正方形。

在上述例題中，通过一题多变练习，不仅复习了三角形的中位线，平行四边形的判定，还复习了特殊平行四边形矩形、菱形、正方形的判定。由此，很好地锻炼了学生的观察能力，以及分析问题、解决问题的能力，也提升了总复习的效率。

四、在深化解题方法为解题通用思路中应用比较思维

在复习分式方程、简单的无理方程、简单的高次方程时，进行求异思维：它们的解题方法分别是：去分母，去根号，降次。但进行求同思维：它们都运用转化思维，将这些方程转化为一元一次，或者是一元二次方程求解。因此，总结出这些问题通用的解题思路，这样就可以达到从知识向方法转变的目的，复习效率自然就高。

五、在一题多解中应用比较思维

同一个问题可能有不同的解法，我们在进行数学总复习中如遇到同一个问题，就应引导学生充分利用已知条件，从不同角度看问题，从不同方向、不同知识体系思考问题，从而形成不同的解法。比较这些解法，可以培养学生的发散思维，提高思维的灵活性，也可以加深对知识的理解。

比如，在解方程：x2-5|x|+4=0时，甲同学利用对x取值分类讨论，化为两个方程：x2+5x+4=0（x≤0），x2-5x+4=0（x﹥0）来解决。乙同学将方程转化为：|x|2-5x+4=0，进而化为（|x|-1）（|x|-4）=0，易知|x|-1=0或|x|-4=0。比较这两种解法，可以发现前者为典型解法，容易想到；后者利用因式分解，将方程转化为两个简易绝对值方程，思维更巧妙。

比较思维内容丰富，应用广泛，教学方法也各有千秋，还需广大教师在实际教学中进一步探讨，以实现教学效率的稳步提升。

（编辑：朱泽玲）