钢筋机械锚固数学模型研究

赵刚，田彬亢（重庆华姿建筑工程有限公司，重庆400；重庆市建筑科学研究院，重庆40000）

钢筋机械锚固数学模型研究

赵刚1，田彬亢2
（1重庆华姿建筑工程有限公司，重庆401120；2重庆市建筑科学研究院，重庆400020）

0 引言

《钢筋机械锚固试验条件研究》[1]提出使钢筋机械锚固试验实现可能的锥形拔出破坏试验条件（如图1），还提到了钢筋机械锚固所主要利用的抗拔锥体几何形态，同时强调锥体实际仅为近似锥体，因为锚头承压面的作用，实则更近似于圆台形状。我们以《钢筋直锚与机械锚固异同》[2]提到的根据抗拔锥体裂面混凝土所承受拉力来建立钢筋机械锚固性能研究的相关数学模型，从理论上推导出钢筋机械锚固充分发挥锚固效果的最小深度。

图1 钢筋机械锚固抗拔锥体1—锚筋；2—被拔出的混凝土锥；3—锚头；4—残存的被拔锥混凝土试件；5—支撑环；6—反力架；7—夹具和传感器

1 抗拔锥体数学模型

钢筋机械锚固所主要利用的混凝土抗拔锥体更近似于圆台，亦即被截除一个上部小圆锥的锥体，所以这个混凝土抗拔锥体的数学模型应该用圆台来描述，如图2所示。

图2 钢筋机械锚固抗拔圆台1—锚筋；2—被拔出的混凝土锥；3—圆台上底半径r；4—圆台高度h；5—圆台下底半径R；6—圆台母线长l

根据《混凝土结构设计规范》GB 50010-2010[3]（以下简称GB 50010-2010）第8.3.3条的要求，钢筋机械锚固锚头承压净面积不应小于锚固钢筋截面积的4倍。钢筋机械锚固常见的圆形承压面锚头最小外径就是圆台上底半径：

式中，r为圆台上底半径；d为锚固钢筋的直径。

圆台高度，实际就是钢筋机械锚固的有效锚固深度hef，在本讨论中暂定为未知数。

根据《钢筋机械锚固试验条件》[1]确定的混凝土抗拔锥体冲切裂面夹角55°，可以推导出圆台下底半径：

式中，R为圆台下底半径；hef为钢筋机械锚固的有效锚固深度。

圆台母线长l：根据式（2）可以推导出圆台母线长：

式中，l为圆台母线长；h为圆台高度。

由此得到圆台侧面积S1：

式中，S1为圆台侧面积；π为圆周率；d为锚固钢筋的直径。

2 力学平衡数学模型

在理想状态下，钢筋机械锚固利用锚头将钢筋所受拉力传递给抗拔锥体，通过混凝土抗拔锥体的锥形面传递抗拔锥体与锚固区混凝土之间的应力。钢筋机械锚固方式中混凝土发生的是崩裂破坏，裂面从锚固端头向锚固界面发展，抗拔锥体顶部的混凝土裂面形成过程就是混凝土压应力在机械锚头承压面扩散的过程[2]，在这过程中混凝土实际上是在主拉应力作用下被撕裂形成抗拔锥体的锥面。

鉴于目前国内外对采用混凝土抗拉强度来验算冲切、劈裂等做法普遍认同，我们假设抗拔锥体的锥裂面上拉应力之和正好等于锚筋所受拉力，由此建立钢筋机械锚固中混凝土抗拔锥体与锚筋所受拉力之间的力学平衡数学模型也应该不存在其他不可忽略的差异。锚筋所受拉力为：

式中：Nt为锚筋所受拉力；fy为钢筋抗拉强度设计值。

混凝土抗拔锥面拉应力总和NRC：混凝土抗拔锥体侧面上产生的拉应力总和，应该等于混凝土抗拔锥体侧面面积S1乘以混凝土的抗拉强度设计值ft：

式中：NRC为混凝土抗拔锥面拉应力总和；ft为混凝土的抗拉强度设计值。

这里补充说明一点，在确定混凝土抗拔锥面拉应力总和NRC时，采用了混凝土的抗拉强度设计值ft这个指标，是因为钢筋机械锚固所利用的抗拔锥体的锥角是55°[1]，比45°大，所以抗拔锥体被锥形拔出过程中，混凝土抗拔锥面经历的更多是受拉状态。国内相关试验研究[4-5]均提到了钢筋与混凝土之间的粘结锚固强度，其提到的这个参数的数值均高于GB50010-2010[3]给定的混凝土抗拉强度设计值（见表1），高出数值均大于规范给定值的50%。而实际上，只要钢筋表面特性和混凝土强度等级确定，钢筋与混凝土之间的粘结锚固作用是在一定范围内基本稳定的[2]，即使在一些非系统性影响因素干扰下其波动都不会很大。由此也可以判定，国内相关试验研究[4-5]在方法上是值得商榷的。

在临界状态下，混凝土抗拔锥面拉应力总和应该总是与锚筋所受拉力相等，即NRC=Nt，以实现力的平衡，将式（5）和式（6）代入NRC=Nt这个等式，即形成钢筋机械锚固中混凝土抗拔锥体与锚筋所受拉力之间的力学平衡数学模型：

3 锚固深度数学模型

在混凝土强度等级、钢筋级别和直径都确定的条件下，利用钢筋机械锚固中混凝土抗拔锥体与锚筋所受拉力之间的力学平衡数学模型，实际上就限定了混凝土抗拔锥体侧面的最小面积，将式（4）代入式（7），我们就可以得到一个以钢筋机械锚固深度hef为未知数的方程：

将式（8）进行简化，得到一个以钢筋机械锚固深度hef为未知数的一元二次方程：

这个一元二次方程的正根就是理想状态下钢筋机械锚固深度的数学模型：

式（10）即为理想状态下钢筋机械锚固深度的数学模型，在这个计算式中，钢筋抗拉强度设计值fy、混凝土抗拉强度设计值ft均可以在我国现行规范GB 50010-2010[3]中查取。这个数学模型的工程含义即为：在钢筋级别和直径、混凝土强度等级确定时，利用式（10）可以计算得出理想状态下钢筋机械锚固的最小锚固深度。

4 数学模型试算

笔者在《钢筋机械锚固试验条件研究》[1]一文中推荐钢筋机械锚固性能研究的一种试验条件，并同时强调，试验应在钢筋机械锚固深度数学模型初步建立之后进行，原因在于这样能够从理论上初步估计钢筋的最小机械锚固深度，才可以相对精确地设计钢筋机械锚固性能试验。现以结构工程中常用的钢筋级别和规格、混凝土强度等级的相关参数代入式（10），估算理想状态下钢筋机械锚固性能试验研究所应考虑的最小锚固深度。

根据GB 50010-2010[3]确定混凝土抗拉强度设计值ft（见表1）。

根据GB 50010-2010[3]确定普通钢筋抗拉强度设计值fy（见表2）。

将表1、表2数值代入式（10），试算出理想状态下钢筋机械锚固最小深度与钢筋直径d之间的关系（见表3）。

表1 混凝土轴心抗拉强度设计值单位：N/mm2

表2 普通钢筋抗拉强度设计值单位：N/mm2

表3 理想状态下钢筋最小机械锚固深度

表3中的数值看起来非常小，是因为本文讨论的是理想状态下的钢筋机械锚固深度数学模型，实际工程运用中会有很多因素产生不利影响。比如混凝土的非匀质性因素，锚筋位于锚固体边缘导致抗拔锥体不完整因素，锚筋间距小于抗拔锥底面直径时的群锚因素等等，这些因素都会影响钢筋机械锚固的工作性能。笔者将在相关试验之后考虑这些因素进一步研究钢筋机械锚固深度的确定方法，以期更科学地确定运用于工程实践中的钢筋机械锚固深度。

5 结语

理想状态下的钢筋机械锚固深度的数学模型，基于钢筋机械锚固基本原理[2]和钢筋机械锚固所利用的混凝土抗拔锥体的几何形态[1]，以及本文提到的钢筋机械锚固中混凝土抗拔锥体与锚筋所受拉力之间的力学平衡关系而建立。此数学模型对进一步的钢筋机械锚固性能试验设计具有重要意义[6]，因为只有透彻地认识钢筋机械锚固的科学本质，才有可能进行对工程实践有探索意义的试验研究。而欲在工程实际运用中经济合理地使用钢筋机械锚固，还要建立在大量的科学试验研究基础之上。

[1]赵刚，邹专习.钢筋机械锚固试验条件研究[J].工程质量，2015（2）：48-51.

[2]赵刚，雷玲.钢筋直锚与机械锚固异同[J].建筑技术开发，2014（7）：40-43.

[3]中国建筑科学研究院.GB50010-2010混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2010.

[4]刘立新，王莉荔.热轧带肋钢筋机械锚固性能的试验研究[J].建筑结构，2009（S1）：895-898.

[5]陈朝霞，李雪，戎贤.HRB500钢筋机械锚固性能的试验研究[J].河北工业大学学报，2011，40（2）：97-100.

[6]赵刚，邓军生.带弯钩的钢筋锚固[J].建筑安全，2014（12）：29-31.

责任编辑：孙苏，李红

Reinforcing Steel BarMechanicalAnchorMathematicalModel

该文基于钢筋机械锚固基本原理和钢筋机械锚固所利用的混凝土抗拔锥体的几何形态，以及钢筋机械锚固中混凝土抗拔锥体与锚筋所受拉力之间的力学平衡关系，建立理想状态下的钢筋机械锚固的锥体数学模型、力学模型和锚固深度数学模型，并就锚固深度数学模型进行试算，得出理想状态下钢筋机械锚固最小深度临界值，为进行科学的钢筋机械锚固试验提供参考。

钢筋；机械锚固；数学模型；混凝土抗拔锥体；混凝土结构设计

Based on thebasic principlesofand thegeometrical form of concrete anti-draw ing cone used by reinforcedmechanicalanchorage,aswellas themechanical equilibrium relationship between the concrete anti-draw ing cone and the tensile strength of the anchor bar,this paper establishes the mathematic conemodel,mechanicalmodeland anchorage depthmodel under an ideal state,and doesa trial calculation to the anchorage depthmodel, obtaining them inimum criticaldepth valueof themechanicalanchorage for reference.

steelbar;mechanicalanchorage;mathematicalmodel;concreteanti-drawing cone;design of reinforced concrete structure

TU 375

A

1671-9107（2017）07-0038-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2017.07.038

2017-04-16

赵刚（1975-），男，重庆人，本科，高级工程师，讲师，主要从事建筑施工技术管理工作。