从转化视角谈学生解题的几个提升点

史振毅

[摘 要] 解题是怎么回事？学生中十有八九还没弄清楚. 本质上来说，解题就是不断将陌生的问题、生疏的情境转换为熟悉的知识，这需要思考. 对于这种思考最关键的因素是合理利用知识，学会转化.

[关键词] 解题；充要性；数学；转化；函数；思维；提升点

数学解题的本质是不断转化，将陌生的问题、生疏的情境转换为熟悉的知识进行表述，这也是波利亚谈在《如何解题》一书中说起的.对学生而言，学生并不明白解题的本质是什么，为什么解题需要这样去表述. 从某种意义上来说，诸如这样的问题完全可以不用解：{x∈R

x2+1=0}= ，因为没有解的必要.再者，这样的问题一直在中学教师表述中存在爭议：当a≥0时，不等式（x-a）（x-2a）>0的解集为多少？大部分教师认为需要分类讨论，即a>0和a=0；少部分教师认为不需要分类，只要直接写出答案即可（笔者赞同）. 这样的问题不少，都是在将问题用更为简洁的形式表述.

学生学习过数学中的“充要条件”后，对解数学问题的理解可以更进一步.用一个简单的案例来说：方程=0?x2-1=0?x=±1. 我们可以认为，小学生能认得右端，初中生可以认识中间，高中生可以看明白左端，但是从充要条件的角度来说，本质是一样的. 因此笔者想说，高中数学中的复杂问题，教师如何一步一步“庖丁解牛”式地让学生理解、思考，而促成这种理解和思考最关键的因素是合理的转化.

[?] 思维高度促成合理转化

学生的数学解题知识片面、欠缺，信息渠道非常的单一. 对数学知识停留在一些孤立的知识点上，而且非常的不全面，谈不上将知识点“串成线，连成面”，知识的建构非常的脆弱，缺少知识点之间的横向和纵向联系的“桥梁”，所以一遇到困难问题，就打破了现有知识的平衡，“乱了方寸”，缺乏“理论—实践—再理论—再实践”能力，即转化不够合理.

问题1：设实数a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有实根，求a2+b2的最小值.

分析：本题初看是一道四次方程问题，但是中学数学显然不能解决如此高次的方程. 程度较弱的学生完全没有思路求解，中等生想到的是将四次方程分解为两个两次方程的积来处理，但是这个分解难度较大，尝试了多次没有获得成功. 这说明，学生对于问题进行了力所能及的直觉性思维的思考，但是显然对于本题来说，这种直觉性思维还远远不够. 此时教师要恰当介入，让学生形成如何促成合理的转化.

师：本题是四次方程，但是我们一般能解决的都是二次为主的方程，同学们刚刚尝试了分解，但都失败了，我们回到本题的初始地点，回头再细细梳理一下问题. 四次方程有实根，但是不可能直接去解决四次方程，但是又无法进行分解？如何把四次方程变成两次方程呢？

生1：既然分解行不通，能否直接降次？对方程两边同除以x2试试？

师：同学们的尝试很到位！这是站在一定高度思考的结果！因为四次方程必定要降解才能解决，因此在因式分解未能成功的前提下，选择降次结合整体思想获得了成功，可以说同学们的处理在偶然中蕴含着必然. 接下去的解决应该比较容易了.

说明：本题对于学生而言，最难的是如何将其转换为二次方程. 笔者认为，站在系统的高度思考问题才是关键. 正是因为有了“四次”转换为“两次”的基本思考方向，那么“分解、降次”等技巧才有了用武之地. 用罗增儒教师的话说就是：教学要站在系统的高度思考问题，这样的教学才能让学生明白转换的“充要性”，将问题不断变化、变化，直到所需达到的最简洁形态.

[?] 方法策略形成有效转化

由于学生原有知识建构的松散，不完善，所以在具体知识和思想运用的时候很难找到理论知识、思想方法与实际问题之间的联系，主要体现在长时间的读题和读题后的沉默，将大量的时间花在思索这个题老师讲过没有，有没有做过一模一样的. 缺乏一种主体意识：将教师课堂上所讲的知识点、数学思想方法和在具体问题中的切换与转化的技能为自己所用，与已有的知识进行必要的建构和重组，然后在解题时灵活运用，更缺乏灵活运用创新的能力. 因此从学生角度来说，初级阶段更多是对知识的模式识别后的使用，后期才是系统运用，这就需要方法策略的积累，有效促成问题的合理转化.

分析：本题是典型的高一函数经典问题. 初学者往往对这样的问题无从下手，这说明学生没有形成合适的策略、有效的方法. 让我们一步一步分析这道经典问题.

解剖1：函数值域解决的基本方法是研究函数的单调性；

解剖3：分析定义域对问题的影响，是否能将底数的取值范围限制在一个更小的取值范围内？

说明：本题最难的转化在步骤3，这得益于方程策略的运用，通过本题的“充要条件”，将函数问题剖析成一步一步、严密思考、合理推敲，并在这一过程中转化为方程根的问题，最后利用方程根与系数的关系重新整理为二次函数F（x）=x2+（a-1）x+2a-2a2，这种函数—方程—函数的方法策略是解决根与系数关系典型的优质方式，成为转化的关键.

[?] 思想视角形成独特转化

数学思想的运用成为有效转化最为独到的一面. 不少问题缺乏的正是数学思想的引领，正是缺乏思想导致问题的解决陷入困境. 教师要去引领的正是一种境界，是引导学生问题解决的一种“豁然开朗”的思想境界.

分析：本题是一道全国联赛初赛试题.从问题本身来看，我们不难发现在点坐标均已知的前提下，利用向量的二维关系=λ，获得两个代数方程以及两个三角方程（sin2α+cos2α=1等），从代数方程中初步来看应该有五个元：sinα，cosα，sinβ，cosβ，λ，通过四个方程理论上可以找到诸如λ=f（sinα）或其他量的函数关系式，但是其中的代数运算是中学生难以达到的.若能从思想的角度重新审视本题，自然可以得到不同的解题转化视角.

说明：独特的思想引领视角，是解决特殊问题的转化途径.本题若用纯代数方式解决，中学生是难以解出最终的答案的，而以独特的思想视角找寻突破口成为关键.

转化是数学问题解决的路径，这一路径需要我们从多种角度去思考，有正确的方法策略、有系统的思想指导、有独特的数学思想引领，让这种转化、充要性得到了实现.笔者认为，要提升学生转化的能力从上述几个新的视角入手远比就题论题式的训练更为有效、更为高瞻远瞩.