点差法在圆锥曲线中的应用和局限性

张明

点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.

“點差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好.

一、以定点为中点的弦所在直线的方程

因为Δ<0，所以直线与双曲线无公共点.

所以满足条件的直线不存在.

怎么回事？用“点差法”好像出问题了，为什么会这样呢？

分析：我们之前就这么两边减了一下，只能说明，如果那条直线存在，那么斜率就是它.注意这里是“如果”，它不能保证直线一定存在.“点差法”不能保证存在性.其实我们高中数学中用的韦达定理也是一样.韦达定理描述的是一元二次方程根与系数的关系，用它是同样不能保证原方程有实根.所以，我们在用“点差法”和韦达定理解题时，一定别忘记检验.