数学广角应重视思考方法的教学

刘娟

数学广角不是某个特定知识点的教学，而是为了开阔学生视野，训练数学思考方法的内容。因此，数学广角的教学应该多从思考方法上做文章，突出思考方法的训练。

案例1：找次品。

很多老师注重从物品个数是3的倍数开始，将物品平均分成3份，经过一系列的过程，得到找出次品所需要的最小次数。而对物品个数不是3的倍数的，则一带而过。这样教学存在的问题主要是急于得到结论，学生没有思考平均分成3份是怎么来的，为什么分成3份时需要的次数是最少的。要解决这些问题，教师应当加强思考方法过程的教学，让学生在过程中体验方法。本文提供两种教学思路供老师们参考。

思路1：从物品数是2开始试验（次品轻一点），直至找到规律。

1.当物品数是2时，显然1次就可找到次品。

2.当物品数是3时，天平每边放1个，剩下1个。若天平平衡，剩下的那个是次品；若不平衡，轻的那个也一看就能找出。因此，总共需要1次可以找出次品。

3.当物品数是4时，有2种找出次品的方法。

第一种方法是天平每边放2个，轻的一边中必有一个是次品。这样就转化为第1种情况。总共需要2次找到次品。

第二种方法是每次天平每边放1个，显然2次可以找到次品。

因此，当物品数是4时，找到次品最少需要2次。

4.当物品数是5时，有2种找出次品的方法。

第一种方法是天平每边每次放1个，2次可找出次品。

第二种方法是天平每边每次放2个，也是2次可找出次品。

因此，当物品数是5时，找到次品最少需要2次。

5.当物品数是6时，有3种找出次品的方法。

第一种方法是天平每边每次放1个，3次可以找出次品。

第二种方法是天平每边每次放2个，2次可以找出次品。

第三种方法是天平每边每次放3个，2次可以找出次品。

因此，当物品数是6时，找到次品最少需要2次。

……

这样继续试验下去，学生会提出问题：老师，如果物品数是100个、1000个，怎么办呀？还这样试验吗？学生提出这样的问题，正是我们教学所需要的！思路1的设计就是基于学生对前面提出的问题的思考，以便学生亲历解决问题的过程。在解决问题的过程中，学生经历了试验、观察、归纳、验证等思维环节，从而得到真正的思维训练。

思路2：1000个物品中有一个轻一点的次品，最少要用几次找出这个次品？

这个思路，对学生思维水平层次比较高的班级适用。学生看到1000这么大的数，必然会引起惊异，1000个怎么找呀？一个一个地找，要找多少次呀？肯定不行！需要另外想办法。由此引发学生的思考，亦即思维从此被引发。如何想办法？退！退到最简单的情形———2个、3个、4个……这样就回到思路1，从中找出规律。这个规律就是从很多的试验中发现，当天平一边放的个数与剩下的个数相差越小时，所找出次品的次数就越少。要得到这个结论，必须要有足够的试验次数，仔细分析每次天平一边所放个数与剩下个数之间的关系后，才能发现。

案例2：烙饼。

据说有些老师上烙饼这一课时，带着锅子进课堂，现场演示烙饼给学生看。也有老师按照饼的个数，分偶数张与奇数张进行讨论，还编出了儿歌要学生记忆。可谓办法想尽，就是没想到如何教给学生思考问题的方法。数学课的最大特征就是数学思维的培养，也就是说，教给学生思考问题的方法。

我们来分析如何使烙饼所用时间最少的办法。只有锅里每次都有2张饼，才能使所用总时间最少。当饼是偶数张时，容易解决，即每次烙2张，正反面烙就行了。如果是奇数张饼，似乎不好办了，学生的困难也在这里。我们换个角度思考，前面是从饼的张数上考虑，如果从饼的面数上考虑，那么，不管是偶数张饼还是奇数张饼，总面数都是偶数。例如，6张饼有12个面，5张饼有10个面。每次都是烙2个面，显然，6张饼烙6次，5张饼烙5次。这样就统一到面数上了，学生就非常容易理解了，也不要分偶数张与奇数张讨论了。这就是数学思维在起作用，而不是单纯靠操作来解决。

从上面两个案例可以发现，数学教学要培养学生的思维能力，关键在于老师要设计能够引起学生思考的问题，并且问题要便于学生思考。问题太容易，没有思考的价值；问题太难，学生思考不了，也没有思考的价值。特别是数学广角的教学，更应该从问题入手，引导学生思考，注重在過程中培养学生思考的方法。

（作者单位：双峰县永丰镇城南学校）